Bài 105703

Question

Cho hàm số            $y = \frac{{3{x^2} + 2x + 1}}{{2x}}$
1)    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2)    Cho nửa đường tròn tâm $O$, đường kính $AB = 2R$. Gọi $M$ là một điểm nằm trên nửa đường tròn đã cho và $M’$ là hình chiếu của $M$ trên $AB$. Đặt $\widehat {BOM} = a$, hãy tìm giá trị của $tan\frac{a}{2}$ để $OM + MM’ + M’B = mMM’$, trong đó $m$ là số cho trước (có thể đặt $tan\frac{a}{2} = x$).
3)    Chứng tỏ rằng có thể tìm được kết quả trong phần 2 nhờ đồ thị hàm số $y = \frac{{3{x^2} + 2x + 1}}{{2x}}$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/25/2012 2:49:02 PM

$1)$    Viết lại hàm số dưới dạng:
$y = \frac{3}{2}x + 1 + \frac{1}{{2x}}$
Hàm số xác định với mọi $x \ne 0$.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 0$, tiệm cận xiên $y = \frac{3}{2}x + 1$.
Ta có:
$y' = \frac{3}{2} - \frac{1}{{2{x^2}}} = \frac{{3{x^2} - 1}}{{2{x^2}}}$
Bạn đọc vẽ bảng biến thiên và đồ thị hàm số

$2)$    Ta có
$OM = R, MM’ = Rsina, MB’ = MB – OM’ = R – Rcosa = R(1 – cosa)$.
Thế vào $OM + MM’ + M’B = mMM’$ ta được:
$R + Rsina + R(1 – cosa) = mRsina$ $ \Leftrightarrow (1 – m)sina – cosa + 2 = 0$                $(1)$
Đặt $x = tan\frac{a}{2}$ ta có $\sin a = \frac{{2x}}{{1 + {x^2}}},\cos a = \frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}$
Khi đó $(1)$ trở thành
$\left( {1 - m} \right)\frac{{2x}}{{1 + {x^2}}} - \frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}} + 2 = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + 2\left( {1 - m} \right)x + 1 = 0$        $(2)$
$(2)$ có nghiệm $ \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {1 - m} \right)^2} - 3 \ge 0$
$ \Leftrightarrow m \le 1 - \sqrt 3 $ hoặc $m \ge 1 + \sqrt 3 $ , và ta có
$tan\frac{a}{2} = x = \frac{{m - 1 \pm \sqrt {{{\left( {1 - m} \right)}^2} - 3} }}{3}$

$3)$    Viết lại $(2)$ dưới dạng
$3{x^2} + 2x + 1 = 2mx$                $(3)$
$x = 0$ không phải là nghiệm của $(3)$ nên
$m = \frac{{3{x^2} + 2x + 1}}{{2x}}$                $(4)$
Vế phải của $(4)$ là đồ thị của hàm số đã vẽ ở phần $1)$, còn vế trái là đường thẳng $y = m$.
Vậy để $(4)$ có nghiệm, căn cứ vào đồ thị ta có $m \le 1 - \sqrt 3 $ hoặc $m \ge 1 + \sqrt 3 $

Bài 105703

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105703

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan