Bài 105708

Question

Cho hàm số $y = \frac{{m{x^2} + 3mx + 2m + 1}}{{x - 1}}$
1) Với $m = - \frac{1}{2}$:
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Từ đồ thị đã vẽ được, hãy biện luận theo tham số $k$ số nghiệm của phương trình :
${x^2} + 3x + 2k\left| {x - 1} \right| = 0$
2) Tìm $m$ để đồ thị của hàm số có điểm cực đại, cực tiểu và hai điểm đó nằm về hai phía đối với trục $Ox$.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/25/2012 3:09:29 PM

$1 a)$ Với $m = - \frac{1}{2}$$\Rightarrow y = - \frac{1}{2}x - 2 - \frac{2}{{x - 1}}$
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 1$, tiệm cận xiên $y = - \frac{1}{2}x - 2$.
Ta có $y' = - \frac{1}{2} + \frac{2}{{{{(x - 1)}^2}}} = - \frac{1}{2}\frac{{(x + 1)(x - 3)}}{{{{(x - 1)}^2}}}$
Vẽ bảng biến thiên

$b)$ $x = 1$ không phải là nghiệm của phương trình, nên phương trình đã cho tương đương với
    $k' = - \frac{{{x^2} + 3x}}{{2\left| {x - 1} \right|}} = \left\{ \begin{array}{l}
- \frac{1}{2}x - 2 - \frac{2}{{x - 1}} với x > 1{\rm{              (1)}}\\
- \left( { - \frac{1}{2}x - 2 - \frac{2}{{x - 1}}} \right) với x < 1{\rm{        (2)}}
\end{array} \right.$
Với $x > 1$ : đồ thị $(1)$ là đồ thị vẽ ở phần a).
Với $x < 1$: đồ thị $(2)$ là đường nét đứt đối xứng với đồ thị vẽ ở phần a) qua trục $Ox$.
Vậy ta có kết quả :
$k < - 9/2$: phương trình đã cho có $4$ nghiệm; $k = - 9/2$: phương trình đã cho có $3$ nghiệm ($2$ đơn, $1$ kép);
$ - 9/2 < k < 1/2$: phương trình đã cho có $2$ nghiệm ; $k = 1/2$: phương trình đã cho có $1$ nghiệm kép $k > 1/2$ : phương trình đã cho vô nghiệm.

$2)$ Viết lại hàm số dưới dạng: $y = mx + 4m + \frac{{6m + 1}}{{x - 1}}$
Ta có         $y' = m - \frac{{6m + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$
a) $m = 0{\rm{ : y'}} = - 1/{(x - 1)^2} < 0,{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \ne {\rm{1 }} \Rightarrow {\rm{y}}$ luôn nghịch biến, $\forall {\rm{x}} \ne {\rm{1 }}$.
b) $m \ne 0{\rm{ :     y'}} = \frac{{m\left[ {{{(x - 1)}^2} - \frac{{6m + 1}}{m}} \right]}}{{{{(x - 1)}^2}}}$
Để $y$ có cực đại, cực tiểu cần có: $(6m + 1)/m > 0 \Leftrightarrow m < - 1/6$ hoặc $m > 0$    $(1)$
Để hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục $Ox$ cần có :
Tử số của $y$ vô nghiệm
$ \Leftrightarrow \Delta = 9{m^2} - 4m(2m + 1) < 0$
$ \Leftrightarrow m(m - 4) < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 4$                    $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có đáp số $0 < m < 4$

Bài 105708

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105708

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan