Bài 105732

Question

Cho hàm số $y = 2x^3 + 3(m - 1){x^2} + 6(m - 2)x - 1$ (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi $m = 2$.
2) Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm $(0,- 1)$ và tiếp xúc với đồ thị hàm số (1).
3) Với những giá trị nào của $m$ thì hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị song song với đường thẳng $y = kx$ ($k$ cho trước) ? Biện luận theo $k$ số giá trị của $m$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/25/2012 3:51:56 PM

$1)$ Dành cho bạn đọc.

$2)$ Phương trình tiếp tuyến với đồ thị đi qua điểm $(0{\rm{ ,}} - 1)$và có hệ số góc $k$ là $y = kx - 1$. Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ
    $\left\{ \begin{array}{l}
2{x^3} + 3(m - 1){x^2} + 6(m - 2)x - 1 = kx - 1\\
y' = 6{x^2} + 6(m - 1)x + 6(m - 2) = k
\end{array} \right.$
Khử $k$ ta được
${x^2}\left[ {4x + 3(m - 1)} \right] = 0 \Rightarrow {x_1} = 0$ hoặc ${x_2} = 3(1 - m)/4$
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta có
    ${k_1} = 6(m - 2),{\rm{ }}{{\rm{k}}_2} = - 3(3{m^2} - 22m + 35)/8$
Và tương ứng có hai tiếp tuyến cần tìm:
    $y = 6(m - 2)x - 1{\rm{ ; y}} = - \left[ {3(3{m^2} - 22m + 35)/8} \right]x - 1$.

$3)$ $y' = 6{x^2} - 6(m - 1)x + 6(m - 2) = 6\left[ {{x^2} + (m - 1)x + (m - 2)} \right]$
Để hàm số có cực đại, cực tiểu ta cần có:
    $\Delta = {(m - 1)^2} - 4(m - 2) = {(m - 3)^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 3$
Khi đó $y' = 0$ có hai nghiệm ${x_1} = - 1,{\rm{ }}{{\rm{x}}_2} = 2 - m$ và ta có $y({x_1}) = 3(2 - m),{\rm{ y(}}{{\rm{x}}_2}) = {(2 - m)^2}(m - 5) - 1$
Vì vậy hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu là
    $\frac{{y({x_1}) - y({x_2})}}{{{x_1} - {x_2}}} = - {m^2} + 8m - 1 = k$

Số đồ thị thỏa mãn điều kiện trên bằng số nghiệm $m$ của phương trình
    ${m^2} - 8m + 1 + k = 0$
$\Delta ' = 16 - (1 + k) = 15 - k$, suy ra:
$k > 15$ và $k = 14$ (do $m \ne 3$): không có đồ thị nào ;
$k = 15$: có đúng một đồ thị;
$14 \ne k < 15$: có hai đồ thị.

Bài 105732

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105732

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan