Bài 105777

Question

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $(d)$ và mặt phẳng (Q) có phương trình :
$(d): \begin{cases}x+y-2=0 \\ y+z-2=0 \end{cases} ; (Q): x+2y-2z+2=0 $
Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và tạo với mặt phẳng (Q) 1 góc $\alpha$ với $\sin \alpha =\sqrt{\frac{5}{6} }$

score 0 · Answer 1

Gọi $\overrightarrow{n_Q} $ là một vtpt của (Q), khi đó $\overrightarrow{n_Q}(1; 2; -2) $
Gọi (P) là mặt phẳng cần xác định
+) (P) chứa (d) $\Rightarrow $ (P) thuộc chùm mặt phẳng xác định bởi trục (d) có dạng:
$(P): A(x+y-2)+B(y+z-2)=0$
$\Leftrightarrow (P) : Ax+(A+B)y+Bz-2A-2B=0 (1)$
Khi đó (P) có vtpt $\overrightarrow{n_P}(A; A+B; B) $
+) Hai mặt phẳng (P) và (Q) tạo với nhau một góc $\alpha$ khi và chỉ khi:
$\frac{|\overrightarrow{n_P}.\overrightarrow{n_Q} |}{|\overrightarrow{n_P}| .|\overrightarrow{n_Q} | }=\cos \alpha \Leftrightarrow \frac{|A.1+(A+B).2+B(-2)|}{\sqrt{1+4+4 }.\sqrt{ A^2+(A+B)^2+B^2} } =\sqrt{1-\sin^2\alpha } $
$\Leftrightarrow \frac{|3A|}{3 \sqrt{2A^2+2AB+2B^2} }= \sqrt{\frac{1}{6} } $
$\Leftrightarrow 4A^2-2AB-2B^2=0$
$\Leftrightarrow 2A^2-AB-B^2=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}B=A\\B=-2A\end{array} \right.$
+) Với $B=A$ thay vào (1) được (P): $x+2y+z-4=0$
+) Với $B=-2A$ thay vào (1) được (P): $x-y-2z+2=0$

Bài 105777

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105777

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan