1. I=−131∫0x3(1−x3)6d(1−x3)
Đặt t=1−x3⇒I=−131∫0(1−t)t6dt=−13(t77−t88)|10=−1168
2.
Do ΔABC đều, M,N là trung điểm của AC,AB nên AM=AN=AB2=√6
dtAMN=12AM.AN.sin600=3√32.
Vậy VSAMN=13.3√32.1=√32
- Giả sử O1 là tâm hình cầu nội tiếp hình chóp SAMN và r là bán kính hình cầu thì r chính là độ dài các đường cao các hình chóp đỉnh O1 và đáy là các mặt tứ diện SAMN. Như vậy :
VSAMN=13r(dtAMN+dtASM+dtASN+dtSMN(∗)
Do hình chóp SAMNđều nên chân đường cao O trùng với tâm dường tròn nội tiếp ΔABC suy ra OM⊥AC,ON⊥AB và OS⊥(ABC)
⇒SM⊥AC,SN⊥AB⇒SM=SN
Xét ΔAOM có OM=AM.tan300=√2
⇒OM=ON=√2.
Xét ΔSOM có SM=√OM2+SO2=√2+1=√3
⇒dtASM=12AM.SM=12√6.√3=3√22
Tương tự dtASN=3√22.Giả sử K là trung điểm MN thì SK⊥MN(do ΔSMN cân)
Xét ΔSKM có SK=√SM2−KM2=√3−32=√62
⇒dtSMN=12MN.SK=12√6.12√6=32 Thay vào ∗
⇒√32=13r(3√32+3√22+3√22+32)
r=√31+2√2+√3