Bài 106041

Question

Tam giác

$ABC$ có các cạnh là

$a, b, c$ và

$l_a; l_b; l_c$ là độ dài các đường phân giác trong tương ứng với các đỉnh

$A, B, C$ .
Chứng minh rằng:

$\frac{1}{c}\left( {{l_a} + {l_b}} \right) + \frac{1}{b}\left( {{l_a} + {l_c}} \right) + \frac{1}{a}\left( {{l_b} + {l_c}} \right) \le 3\sqrt 3$

score 0 · Answer 1

Dễ chứng minh công thức

$l_a=\frac{2bc}{(b+c)} .cos\frac{A}{2}(1)$ (sử dụng phương pháp diện tích)

$\Leftrightarrow l_a.\frac{b+c}{bc}=2cos\frac{A}{2} \Rightarrow l_a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c} )=2cos\frac{A}{2}$

$\Rightarrow l_a(\frac{1}{b} +\frac{1}{c} )+l_b(\frac{1}{c} +\frac{1}{a} )+l_c(\frac{1}{a} +\frac{1}{b} )=2(cos\frac{A}{2}+cos\frac{B}{2}+cos\frac{C}{2} )$

$\Rightarrow \frac{1}{c} (l_a+l_b)+\frac{1}{b} (l_a+l_c)+\frac{1}{a} (l_b+l_c)=2(cos\frac{A}{2}+cos\frac{B}{2}+cos\frac{C}{2} )$
Cũng dễ chứng minh được rằng nếu

$x,y,z$ là

$3$ góc nhọn thì