Dễ chứng minh
$cot\frac{A}{2} +cot\frac{B}{2} +cot\frac{C}{2}=cot\frac{A}{2} .cot\frac{B}{2} .cot\frac{C}{2},\forall \Delta ABC (1)$
Do $cot\frac{A}{2} ,cot\frac{B}{2} ,cot\frac{C}{2}$ lập thành cấp số cộng nên đẳng thức trên
$\Leftrightarrow 3cot\frac{B}{2} =cot\frac{A}{2} cot\frac{B}{2} cot\frac{C}{2}$
$cot\frac{A}{2}.cot\frac{C}{2}=3$
(Chứng minh (1):
$\cot(\frac{A}{2}+\frac{B}{2})=\frac{\cot\frac{A}{2}\cot\frac{B}{2}-1}{\cot\frac{A}{2}+\cot\frac{B}{2}}$$\Rightarrow\frac{1}{\cot\frac{C}{2}}=\frac{\cot\frac{A}{2}\cot\frac{B}{2}-1}{\cot\frac{A}{2}+\cot\frac{B}{2}}$$\Rightarrow (1)$