Bài 106419

Question

Cho hàm số $y = x^2 + 2x - 3$.
a) Khảo sát chiều biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b) Chứng minh rằng đồ thị hàm số nhận đường thẳng $\Delta: x+ 1 = 0$ làm trục đối xứng.
c) Tìm trên đồ thị các khoảng mà ở đó tung độ y nhận giá trị không âm, những khoảng mà y < $0$.
d) Suy ra đồ thị hàm số $y = |x^2 + 2x - 3|$ từ đồ thị hàm số đã cho.

Kit Nguyen · Answer 1 · 6/1/2012 12:43:35 AM

a) Hàm số $y = x^2 + 2x - 3$ có tập xác định $\mathbb{D} = \mathbb{R}.$
Vì $a = 1 > 0$ nên hàm số quay bề lõm về phía trên.
   $\Delta = 16       \Rightarrow    -\frac{\Delta}{4a} = -4 ;       \frac{- b}{2a} = -1$.
- Nghịch biến trong khoảng $(-\infty ; -1)$
- Đồng biến trong khoảng    $(-1 ; +\infty )$
- Nhận giá trị nhỏ nhất $-4$, ứng với $x = -1$.
Ta có bảng biến thiên:

Đồ thị:
Ta tìm một số điểm đặc biệt.
- Đỉnh $I(-1; -4)$
- Giao điểm với trục tung $A(0;-3)$ và suy ra điểm $A'(-2 ; -3)$.
- Ta có: $y= x^2 +2x - 3$
Vì $x^2 + 2x - 3 = x^2 + 3x - x - 3 = (x+3)(x - 1)$
$\Rightarrow      y = (x - 1)(x+3)$
Ta có: $x = 1    \Rightarrow      y = 0$
           $x = -3 \Rightarrow      y = 0$
Ta được hai giao điểm của $y= x^2 +2x - 3$ với trục hoành là $N(1;0), M(-3; 0)$. Ta được đồ thị dưới:

b)
Ta có thể viết hàm số dưới dạng:
$y= x^2 +2x - 3 \Rightarrow    y = (x+1)^2 - 4     \Rightarrow     y+4 = (x+1)^2$
Thực hiện việc chuyển trục tọa độ theo công thức $\begin{cases}x= X-1 \\ y= Y-4\end{cases}$
ta có     $(Y - 4)+4 = [(X-1)+1]^2     \Rightarrow     Y=X^2$.
Trong hệ tọa độ mới, hàm số $Y = X^2$ là hàm số chẵn, đồ thị của nó đối xứng qua trục tung đội $IY:   x= X-1   \Rightarrow    X = x+1$.
Vậy đồ thị hàm số nhận đường thẳng $\Delta: x+1 = 0$ làm trục đối xứng.
c)
Trên đồ thị ta nhận thấy các phần Mz, Nt nằm trên trục hoành, ứng với các giá trị $y\geq 0$, các nhánh này ứng với $x\leq - 3$ hoặc $x\geq 1$.
Nhánh MIN nằm dưới trục hoành, ứng vơi $y< 0$, nhánh này ứng với $-3<x<1$.
Vậy với $x\leq -3$ hoặc $x\geq 1$ thì $y \ge 0$.
       với $-3<x<1$ thì $y<0$
d)
Theo kết quả câu c) thì ứng với các giá trị $x\leq -3$ hoặc $x\geq 1$ , ta có các giá trị $y\geq 0$, do đó trong các khoảng $(-\infty ; -3]$ hoặc $[1; +\infty )$ thì đồ thị hàm số $y=|x^2 + 2x -3|$ trùng với đồ thị hàm số $y = x^2 + 2x - 3$.
Trong khoảng $(-3; 1)$ thì $y<0$ do đó đồ thị hàm số $ |y = x^2 +2x - 3|$ là đối xứng của phần đồ thị hàm số $y = x^2 + 2x - 3$ trong khoảng $(-3; 1)$ qua trục hoành.

Bài 106419

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106419

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan