Bài 106486

Question

Cho $\log^2_3x \sqrt{log^2_3+1}-2m-1=0 (2)$
$(m$ là tham số)
1. Giải phương trình $(2)$ khi $m = 2$.
2. Tìm $m$ để phương trình $(2)$ có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn $[1; 3^{\sqrt{3}}]$

Thu Hằng · Answer 1 · 6/1/2012 4:31:35 PM

1. Với $m = 2$, ta có:
$\log ^2_3 x + \sqrt{\log ^2_3 x + 1} - 5 = 0$.
Điều kiện $x> 0$. Đặt $t = \sqrt{\log^2_3 x +1} \geq 1$, ta có:
$t^2 - 1 + t - 5 = 0     \Leftrightarrow t^2 + t - 6 = 0    \Leftrightarrow   \left[ \begin{array}{l}t = - 3           \text{ (loại)} \\t = 2\end{array} \right.$
$t = 2 \Rightarrow \log^2_3 x = 3    \Leftrightarrow  \log_3 x = \pm \sqrt{3} \Leftrightarrow x = 3^{\pm \sqrt{3}} $
$ x = 3^{\pm \sqrt{3}}$ thỏa mãn điều kiện $ x > 0$.
2. $\log ^2_3 x + \sqrt{\log ^2_3 x + 1} - 2m -1 = 0$.                                               $(2)$
Điều kiện $x> 0$. Đặt $t = \sqrt{\log^2_3 x +1} \geq 1$, ta có:
$t^2 -1 +t - 2m - 1 = 0   \Leftrightarrow   t^2 + t -2m - 2 = 0$                                   $(3)$
$x \in [1; 3^\sqrt{3}]    \Leftrightarrow   0 \leq \log_3 x \leq \sqrt{3}$
                            $ \Leftrightarrow    1 \leq t = \sqrt{\log^2_3 x +1} \leq 2 $.
Vậy $(2)$ có nghiệm thuộc $[1; 3^\sqrt{3}]$ khi và chỉ khi $(3)$ có nghiệm thuộc $[1; 2]$.
Đặt $f (t) = t^2 + t$.
Cách 1:
Hàm số $f (t)$ là hàm tăng trên đoạn $ [1; 2]$. Ta có $f(1) = 2$ và $ f(2) = 6$.
Phương trình $t^2 + t = 2m + 2$ có nghiệm thuộc $[1 ; 2]$.
$\Leftrightarrow f (t) = 2m + 2$ có nghiệm thuộc $[1 ; 2]$.
$\Leftrightarrow \begin{cases}f(1) \leq 2m + 2 \\ f (2) \geq 2m + 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}2\leq 2m + 2 \\ 2m + 2 \leq 6 \end{cases}$
$0 \leq m \leq 2$.
Cách 2:
Trường hợp 1. Phương trình $(3)$ có $2$ nghiệm $t_1, t_2$ thỏa mãn:
                         $1 < t_1 \leq t_2 <2$.
Do $ \frac{t_1 + t_2}{2} = - \frac{1}{2} < 1$ nên không tồn tại $m$.
Trường hợp 2. Phương trình $(3)$ có $2$ nghiệm $t_1, t_2$ thỏa mãn:
                       $t_1 \leq 1 \leq t_2 \leq 2$    hoặc    $1 \leq t_1 \leq 2 \leq t_2$
$\Leftrightarrow - 2m ( 4 -2m) \leq 0    \Leftrightarrow 0 \leq m \leq 2$

Bài 106486

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106486

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan