Bài 106557

Question

Các góc của tam giác

$ABC$ thỏa mãn hệ thức:

$sin^2A + sin ^2B = \sqrt[9]{\sin C}$ . Biết rằng các góc

$A$ và

$B$ nhọn. Hãy tính giá trị của góc

$C.$

score 0 · Answer 1

Do

$0 < \sin C \le 1 \Rightarrow \sqrt[9]{{\sin C}} \ge {\sin ^2}C$
Từ giả thiết

$\Rightarrow {\sin ^2}A + {\sin ^2}B \ge {\sin ^2}C \Leftrightarrow (\frac{a}{2R})^2+(\frac{b}{2R})^2\geq(\frac{c}{2R})^2\Rightarrow {a^2} + {b^2} \ge {c^2}$

$\Rightarrow {a^2} + {b^2} \ge {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C \Rightarrow \cos C \ge 0 (a)$
Mặt khác, dễ chứng minh được rằng

${\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C = 2 + 2\cos A\cos B\cos C,\,\forall \Delta(1)$ nên giả thiết suy ra:

$\sqrt[9]{{\sin C}} + {\sin ^2}C = 2 + 2\cos A\cos B\cos C,\,VT \le 2$

$\Rightarrow 2 + 2\cos A\cos B\cos C \le 2 \Rightarrow \cos A\cos B\cos C \le 0$
Mà

$A, B$ nhọn (giả thiết)

$\Rightarrow \cos A\cos B > 0 \Rightarrow \cos C \le 0\,\,(b)$
Từ (

$a$ ) và (

$b$ ) suy ra:

$cosC = 0$ . Suy ra

$\widehat C = {90^0}$
(Chứng minh (1):

$VT=\frac{3-(\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C)}{2}=\frac{3-[2\cos(A+B)\cos(A-B)+2\cos^2C-1]}{2}$ $=2+[\cos C\cos(A-B)-\cos^2C]$

$=2+\cos C[\cos (A-B)+\cos(A+B)]=2+2\cos A\cos B\cos C$ )

Bài 106557

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106557

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan