Bài 106599

Question

Cho tam giác $ABC$. Giả sử $G$ là giao điểm các đường trung tuyến của tam giác. Ký hiệu:$\widehat{GAB}=\alpha,\widehat{GBC}=\beta,\widehat{GCA}=\gamma$. Chứng minh rằng :
$\cot \alpha + \cot \beta + \cot \gamma = \frac{{3({a^2} + {b^2} + {c^2})}}{{4S}}$
trong đó $a, b, c$ là độ dài $3$ cạnh và $S$ là diện tích của tam giác.

score 0 · Answer 1

Dễ thấy với trọng tâm $G$ của tam giác ABC thì ${S_{GAB}} = {S_{GBC}} = {S_{GCA}} = \frac{1}{3}S$
Từ định lý cosin ta có:
$\begin{array}{l}
{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A = {b^2} + {c^2} - 4bc\sin A\cot A\\
\Rightarrow \cot A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}}
\end{array}$
Áp dụng công thức này cho tam giác ABC ta được:
$\cot \alpha = \frac{{A{B^2} + G{A^2} - G{B^2}}}{{4.\frac{1}{3}S}} = \frac{3}{{4S}}\left(
{{c^2} + G{A^2} - G{B^2}} \right)$
Tương tự: $\cot \beta = \frac{3}{{4S}}\left( {{a^2} + G{B^2} - G{C^2}} \right)$
$\cot \gamma = \frac{3}{{4S}}\left( {{b^2} + G{C^2} - G{A^2}} \right)$
Do đó: $\cot \alpha + \cot \beta + \cot \gamma = \frac{{3({a^2} + {b^2} + {c^2})}}{{4S}}$

Bài 106599

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106599

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan