Bài 106731

Question

Cho hàm số:

$y = \frac{x}{1 + x}$

$1.$ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho.

$2.$ Gọi

$I$ là giao điểm của hai đường tiệm cận. Hãy chứng minh:

$a)$

$I$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

$b)$ Không có bất cứ đường tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số đi qua

$I.$

$3.$ Chứng minh rằng với mọi

$a, b$ ta có:

$\frac{{|a + b|}}{{1 + |a + b|}} \le \frac{{|a| + |b|}}{{1 +|a| + |b|}}$
Hãy chỉ rõ dấu bằng xảy ra khi nào?

score 0 · Answer 1

$1.$ Bạn đọc tự giải.

$2.$ Giao của

$2$ tiệm cận là

$I(-1;1)$ . Hàm số đã cho có thể viết lại thành:

$y = 1 - \frac{1}{{x + 1}} \Leftrightarrow y - 1 = - \frac{1}{{x + 1}}$
Đặt

$X = x + 1;\,\,Y = y - 1$ thì hàm số trở thành:

$Y = - \frac{1}{X}$
Vậy phép chuyển tọa độ cho bởi công thức:

$\left\{ \begin{array}{l} X = x + 1\\ Y = y + 1 \end{array} \right.$ thì gốc tọa độ mới chính là điểm I đã cho và trong hệ tọa độ mới, hypebol vẽ trong

$1)$ có phương trình

$Y = - \frac{1}{X}$ là một hàm lẻ nên nhận gốc tọa độ

$I$ làm tâm đối xứng.

$b)$ Một đường thẳng tùy ý qua

$I$ có phương trình dạng

$Y = kX$ (hoặc

$X = 0$ ). Rõ ràng

$X = 0$ không cóđiểm chung với

$Y = - \frac{1}{X}$ ; còn

$Y = kX$ thì hoặc không có điểm chung với

$Y = - \frac{1}{X}$ (nếu phương trình

$kX = - \frac{1}{X}$ vô nghiệm hay k

$\ge 0$ ) hoặc cắt

$Y = - \frac{1}{X}$ tại

$2$ điểm phân biệt đối xứng nhau qua

$I$ khi

$k < 0$ , phương trình:

$kX =- \frac{1}{X}$ có

$2$ nghiệm phân biệt

$X = \pm \sqrt { - \frac{1}{k}}$
Vì vậy không có tiếp tuyến nào qua I.

$3)\,\,\frac{{|a + b|}}{{1 + |a + b|}} \le \frac{{|a| + |b|}}{{1 + |a| + |b|}}$
Thực hiện nhân chéo, thu gọn biến đổi tương đương ta có:

$\begin{array}{l} |a + b| \le |a| + |b| \Leftrightarrow {(a + b)^2} \le {\left( {|a| + |b|} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2ab \le 2|ab| \end{array}$
(luôn luôn đúng)
Đẳng thức xảy ra khi

$ab = |ab| \Leftrightarrow ab \ge 0$

Bài 106731

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106731

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan