Bài 106801

Question

Trong mặt phẳng tọa độ

$Oxy$ cho điểm

$A(1;1)$ và đường thẳng

$(d)$ có phương trình:

$4x + 3y = 12$

$1.$ Gọi

$B$ và

$C$ lần lượt là giao điểm của (

$d$ ) với các trục tọa độ

$Ox$ và

$Oy$ . Xác định tọa độ trực tâm của tam giác

$ABC.$

$2.$ Điểm

$M$ chạy trên (

$d$ ). Trên nửa đường thẳng đi qua hai điểm

$A$ và

$M$ , lấy điểm

$N$ sao cho

$\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AN} = 4$ Điểm

$N$ chạy trên đường cong nào? Viết pt đường cong đó.

score 0 · Answer 1

$1.$

$d$ cắt

$Ox$ tại

$B$ suy ra

$B (3;0)$
(

$d$ ) cắt

$Oy$ tại

$C$ suy ra

$C(0;4)$
Gọi

$H$ là trực tâm tam giác

$ABC : H (x,y)$

$\Rightarrow \overrightarrow {CH} = (x;y - 4)\,\,\,;\,\,\overrightarrow {BH} = (x - 3;y)$

$\overrightarrow {AB} = (2; - 1)\,\,;\,\overrightarrow {\,AC} = ( - 1;3)$
Ta có :

$\begin{array}{l} CH \bot AB \Rightarrow \overrightarrow {CH} .\overrightarrow {AB} = 0\\ BH \bot AC \Rightarrow \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x - y + 4 = 0\\ - x + 3y + 3 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 3\\ y = - 2 \end{array} \right.\\ \Rightarrow H( - 3; - 2) \end{array}$

$2.$

Gọi

${M_0} \in (d)$ sao cho :

$A{M_0} \bot (d)$

$\begin{array}{l} A{M_0} = d(A;(d)) = 1\\ {N_0} \in A{M_0}\,sao\,cho\,\overrightarrow {A{M_0}} .\overrightarrow {A{N_0}} = 4 \Rightarrow A{N_0} = 4 \end{array}$
Với

$M$ bất kì thuộc (

$d), N$ thuộc tia

$AM$ và

$\overrightarrow {AM} \overrightarrow {AN} = 4$

$\Rightarrow$ Ta có :

$AM.AN = 4$
Và

$AM_0.AN_0 = 4$
Suy ra

$\frac{{AM}}{{A{M_0}}} = \frac{{AN}}{{A{N_0}}}$

$\Rightarrow \Delta AM{M_0} \sim \Delta A{N_0}N \Rightarrow \widehat {{M_0}} = \widehat N \Rightarrow \widehat N = 1v$
Điểm

$N$ nhìn

$AN_0$ dưới một góc vuông nên

$N$ thuộc đường tròn đường kính

$AN_0$ . Gọi

$I$ là trung điểm

$AN_0$ thì

$N \in (I;2)$
Xác định tọa độ

$I.$
Gọi

$\overrightarrow n$ là VTCP của

$\overrightarrow {AI}$ suy ra

$\overrightarrow n$ là VTPT
của (

$d$ ) và

$|\overrightarrow n |= 1$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow n = \frac{1}{{\sqrt {16 + 9} }}(4,3) = \left( {\frac{4}{5};\frac{3}{5}} \right)\\ \overrightarrow {AI} = 2.\overrightarrow n \Rightarrow I\left( {\frac{{13}}{5};\frac{{11}}{5}} \right) \end{array}$
Vậy

$N$ nằm trên đường tròn có phương trình: