Bài 106801

Question

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho điểm $A(1;1)$ và đường thẳng $(d)$ có phương trình: $4x + 3y = 12$
$1.$ Gọi $B$ và $C$ lần lượt là giao điểm của ($d$) với các trục tọa độ $Ox$ và $Oy$. Xác định tọa độ trực tâm của tam giác $ABC.$
$2.$ Điểm $M$ chạy trên ($d$). Trên nửa đường thẳng đi qua hai điểm $A$ và $M$, lấy điểm $N$ sao cho $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AN} = 4$ Điểm $N$ chạy trên đường cong nào? Viết pt đường cong đó.

score 0 · Answer 1

$1.$ $d$ cắt $Ox$ tại $B$ suy ra $B (3;0)$
($d$) cắt $Oy$ tại $C$ suy ra $C(0;4)$
Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC : H (x,y)$
$ \Rightarrow \overrightarrow {CH} = (x;y - 4)\,\,\,;\,\,\overrightarrow {BH} = (x - 3;y)$
$\overrightarrow {AB} = (2; - 1)\,\,;\,\overrightarrow {\,AC} = ( - 1;3)$
Ta có :
$\begin{array}{l}
CH \bot AB \Rightarrow \overrightarrow {CH} .\overrightarrow {AB} = 0\\
BH \bot AC \Rightarrow \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x - y + 4 = 0\\
- x + 3y + 3 = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - 3\\
y = - 2
\end{array} \right.\\
\Rightarrow H( - 3; - 2)
\end{array}$
$2.$

Gọi ${M_0} \in (d)$ sao cho : $A{M_0} \bot (d)$
$\begin{array}{l}
A{M_0} = d(A;(d)) = 1\\
{N_0} \in A{M_0}\,sao\,cho\,\overrightarrow {A{M_0}} .\overrightarrow {A{N_0}} = 4 \Rightarrow
A{N_0} = 4
\end{array}$
Với $M$ bất kì thuộc ($d), N$ thuộc tia $AM$ và $\overrightarrow {AM} \overrightarrow {AN} = 4$
$ \Rightarrow $Ta có : $AM.AN = 4$
Và $AM_0.AN_0 = 4$
Suy ra $\frac{{AM}}{{A{M_0}}} = \frac{{AN}}{{A{N_0}}}$$ \Rightarrow \Delta AM{M_0} \sim
\Delta A{N_0}N \Rightarrow \widehat {{M_0}} = \widehat N \Rightarrow \widehat N = 1v$
Điểm $N$ nhìn $AN_0$ dưới một góc vuông nên $N$ thuộc đường tròn đường kính $AN_0$. Gọi $I$ là trung điểm $AN_0$ thì $N \in (I;2)$
Xác định tọa độ $I.$
Gọi $\overrightarrow n $là VTCP của $\overrightarrow {AI} $suy ra $\overrightarrow n $ là VTPT
của ($d$) và $|\overrightarrow n |= 1$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \overrightarrow n = \frac{1}{{\sqrt {16 + 9} }}(4,3) = \left( {\frac{4}{5};\frac{3}{5}}
\right)\\
\overrightarrow {AI} = 2.\overrightarrow n \Rightarrow I\left( {\frac{{13}}{5};\frac{{11}}{5}}
\right)
\end{array}$
Vậy $N$ nằm trên đường tròn có phương trình:
${\left( {x - \frac{{13}}{5}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{11}}{5}} \right)^2} = 4$

Bài 106801

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106801

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan