Bài 106882

Question

Cho hàm số:

$y = \frac{1}{3}{x^3} - mx^2 - x + m + 1$

$1.$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với

$m = 0$

$2.$ Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị của hàm số đã khảo sát, hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

$3.$ Chứng minh rằng với mọi

$m$ , hàm số đã cho luôn luôn có cực đại và cực tiểu. Hãy xác định

$m$ sao cho khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất.

score 0 · Answer 1

$1.$ Bạn đọc tự giải

$2.$ Với

$m = 0$ ta có hàm số:

$y = \frac{{{x^3}}}{3} - x + 1\, \Rightarrow y' = {x^2} - 1 \ge - 1$
Do đó hệ số góc của tiếp tuyến có giá trị nhỏ nhất bằng

$-1$ tại

$x = 0$
Ta có

$y(0) = 1.$
Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất là:

$y = -x + 1.$

$3.$ Với hàm số tổng quát ta có:

$y' = {x^2} - 3mx - 1$
Có

$\Delta ' = {m^2} + 1 > 0,\,\forall m\, \Rightarrow$ phương trình

$y’ = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt và

$y’$ đối dấu qua hai nghiệm đó

$\Leftrightarrow$ Hàm số luôn có cực đại, cực tiểu.
Chia đa thức

$y$ cho

$y’$ ta được:

$y = y'\left( {\frac{x}{3} - \frac{m}{3}} \right) - \frac{{2(1 + {m^2})x}}{3} + \frac{{2m + 3}}{3}$
Giả sử đồ thị có điểm cực đại, cực tiểu tại

$A({x_1};{y_1});\,B({x_2};{y_2})$ . Vì

$y'({x_1}) = 0\,\,;\,\,y'({x_2}) = 0$ nên:

$\left\{ \begin{array}{l} {y_1} = - \frac{{2(1 + {m^2}){x_1}}}{3} + \frac{{2m + 3}}{3}\\ {y_2} = - \frac{{2(1 + {m^2}){x_2}}}{3} + \frac{{2m + 3}}{3} \end{array} \right.$

${({y_1} - {y_2})^2} = \frac{{4{{\left( {1 + {m^2}} \right)}^2}}}{9}{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}$
Khoảng cách giữa hai điểm cực đại và điểm cực tiểu là: