Bài 106900

Question

Cho hàm số:

$y = \frac{{x^2 + 2mx + m}}{x - m}\,\,\,(1)$

$1.$ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (

$1$ ) khi

$m = 1.$

$2.$ Tìm trên trục tung những điểm mà từ đó kẻ được

$2$ tiếp tuyến tới đồ thị mà

$2$ tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.

$3.$ Với giá trị nào của

$m$ thì hàm số (

$1$ ) có cực đại, cực tiểu. Viết pương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu.

score 0 · Answer 1

$1.$

$y=x+3m+\frac{3m^2+m}{x-m}$
Với

$m=1$ , hàm số trở thành:

$y=x+3+\frac4{x-1}$
*Tập xác định:

$D=(-\infty;1)\cup (1;+\infty)$
*Sự biến thiên

$a)$ Đạo hàm:

$y'=1-\frac 4 {(x-1)^2} \\y'=0\Leftrightarrow x-1=\pm 2\Leftrightarrow x=3 \vee x=-1$
hàm số đạt 2 cực trị tại:

$A ( -1 ; 0 ), B ( 3 ; 8 )$

$b)$ Giới hạn và các đường tiệm cận
+ Ta có:

$\mathop {\lim y}\limits_{x \to 1^-}=-\infty ; \mathop {\lim y}\limits_{x \to 1^+}=+\infty$
→ đường thẳng

$x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho
+ Giới hạn tại vô cực:

$\mathop {\lim y}\limits_{x \to +\infty }=+\infty ; \mathop {\lim y}\limits_{x \to -\infty}=-\infty$
+ Ta có:

$\mathop {\lim [y-(x+3)]}\limits_{x \to +\infty }=0 ; \mathop {\lim [y-(x+3)]}\limits_{x \to -\infty}=0$
→ đường thẳng

$y = x+3$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho

$c)$ Bảng biến thiên

$d)$ Chiều biến thiên và các cực trị
+ Hàm số đồng biến trên

$( -\infty ; -1 )$
+ Hàm số nghịch biến trên

$( -1 ; 1 )$
+ Hàm số nghịch biến trên

$( 1 ; 3 )$
+ Hàm số đồng biến trên

$( 3 ; +\infty )$
+ Hàm số đạt cực đại tại điểm

$x = -1$ ; giá trị cực đại của hàm số là

$y = 0$
+ Hàm số đạt cực tiểu tại điểm

$x = 3$ ; giá trị cực tiểu của hàm số là

$y = 8$
*Đồ thị

$a)$ Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ
+ Giao điểm của hàm số với trục Ox:

$y = 0 \Leftrightarrow x = -1$
+ Giao điểm của hàm số với trục Oy:

$x = 0 \Leftrightarrow y = -1$

$b)$ Nhận xét
+ Đồ thị hàm số nhận giao điểm

$D (1;4)$ của 2 tiệm cận làm tâm đối xứng

$c)$ Vẽ đồ thị hàm số

$2.$ Xét

$M(0;m)$ thuộc

$Oy$ . Đường thẳng qua

$M$ có dạng:

$y = kx + m$ . Tiếp tuyến với đồ thị tại

$\left( {{x_0};\frac{{x_0^2 + 2{x_0} + 1}}{{{x_0} - 1}}} \right)$ có phương trình:

$y = \frac{{x_0^2 - 2{x_0} - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{x_0^2 + 2{x_0} + 1}}{{{x_0} - 1}}$
Đường thẳng

$y = kx + m$ sẽ là một tiếp tuyến qua

$M(0;m)$ khi và chỉ khi:

$\exists {x_0}:\left\{ \begin{array}{l} k = \frac{{x_0^2 - 2{x_0} - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\\ m = \frac{{x_0^2 - 2{x_0} - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( { - {x_0}} \right) + \frac{{x_0^2 + 2{x_0} + 1}}{{{x_0} - 1}} \end{array} \right.$
Do đó qua

$M$ sẽ kẻ được

$2$ tiếp tuyến vuông góc nhau khi và chỉ khi:

$m = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\left( { - x} \right) + \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x - 1}}$
hay

$(m - 3){x^2} - (2m + 2)x + m + 1 = 0\,\,(1)$ có hai nghiệm phân biệt

$x_1; x_2$ sao cho:

$\frac{{x_1^2 - 2{x_1} - 3}}{{{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2}}}.\frac{{x_2^2 - 2{x_2} - 3}}{{{{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}}} = - 1\,\,(2)$
(

$1$ ) có hai nghiệm

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 3\\ \Delta ' > 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > - 1\\ m \ne 3 \end{array} \right.\,\,\,\,(3)$
Điều kiện

$(2) \left( {1 - \frac{4}{{{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{4}{{{{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}}}} \right) = - 1$

$\Leftrightarrow {\left( {{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1} \right)^2} - 2\left( {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2} \right) + 8 = 0$
Theo định lý Viet ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{2(m + 1)}}{{m - 3}}\\ {x_1}{x_2} = \frac{{m + 1}}{{m - 3}} \end{array} \right.$
Nên

$(2) \Leftrightarrow {m^2} - 8m + 1 = 0$

$\Leftrightarrow m = 4 \pm \sqrt {15}$ (thỏa mãn

$(3)$ )
Vậy các điểm cần tìm trên

$Oy$ là

$M\left( {0;4 \pm \sqrt {15} } \right)$

$3.$ Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi:

$y' = \frac{{(2x + 2m)(x - m) - \left( {{x^2} + 2mx + m} \right)}}{{{{(x - m)}^2}}}$ có

$2$ nghiệm phân biệt:

$\Leftrightarrow (2x + 2m)(x - m) = {x^2} + 2mx + m\,\,\,(1)$
có

$2$ nghiệm phân biệt khác

$m$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ' = 3{m^2} + m > 0\\ - 3{m^2} - m \ne 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m < - \frac{1}{3}\\ m > 0 \end{array} \right. \end{array}$
Giả sử

$A({x_1};{y_1})$ và

$B(x_2;y_2)$ là các điểm cực đại, cực tiểu. Như vậy

${x_1}$ ,

${x_2}$ là hai
nghiệm của (

$1$ ) và

${y_{1,2}} = \frac{{x_{1,2}^2 + 2m{x_{1,2}} + m}}{{{x_{1,2}} - m}}$
Vì

${x_1}$ là nghiệm của

$(1) \Rightarrow \left( {2{x_1} + 2m} \right)\left( {{x_1} - m} \right) = x_1^2 + 2m{x_1} + m$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{x_1^2 + 2m{x_1} + m}}{{{x_1} - m}} = 2{x_1} + 2m \Rightarrow {y_1} = 2{x_1} + 2m\\ \Rightarrow {A_1} \in y = 2x + 2m \end{array}$
Tương tự ta chứng minh được

${A_2} \in y = 2x + 2m$
Vậy

$y = 2x + 2m$ là đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu.