a) Xét
$\sqrt{a}+\sqrt{a+5}<\sqrt{a+2}+\sqrt{a+3}, a>0$
$\Leftrightarrow
a+a+5+2\sqrt{a(a+5)}<a+2+a+3+2\sqrt{(a+2)(a+3)}$
$\Leftrightarrow
a(a+5)<(a+2)(a+3)\Leftrightarrow 0<6$, đúng
Thay
$a=2000\Rightarrow\sqrt{2000}+\sqrt{2005}<\sqrt{2002}+\sqrt{2003}$
b) Giả sử $\sqrt{a+2}+\sqrt{a+4}\leq \sqrt{a}+\sqrt{a+6}$
$\Leftrightarrow (\sqrt{a+2}+\sqrt{a+4})^{2}\leq (\sqrt{a}+\sqrt{a+6})^{2} $
$\Leftrightarrow a+2+a+4+2 \sqrt{(a+2)(a+4)}\leq a+a+6+2 \sqrt{a(a+6)} $
$\Leftrightarrow \sqrt{(a+2)(a+4)}\leq \sqrt{a(a+6)} $
$\Leftrightarrow (a+2)(a+4)\leq a(a+6)\Leftrightarrow a^{2}+6a+8 \leq a^{2}+ 6a \Leftrightarrow 8 \leq 0 $ Sai
Vậy $\sqrt{a+2}+\sqrt{a+4} >\sqrt{a}+\sqrt{a+6}$ với $a>0$