Bài 107427

Question

Với giá trị nào của tham số $m$, hệ bất phương trình sau đây có nghiệm:
$(I) \left\{ \begin{array}{l} x^2+7x-8<0 (1)\\ (m^2-3m+2)x>2 (2) \end{array} \right.$

score 0 · Answer 1

Ta có: $x^2+7x-8=0\Leftrightarrow x=-8$ hoặc $x=1$
nên $(1)\Leftrightarrow -8<x<1$

Xét bất phương trình (2):
Ta có: $m^2-3m+2=0\Leftrightarrow m=1$ hoặc $m=2$, khi đó thì (2) trở thành $0x>2$, vô nghiệm, do đó, hệ (I) vô nghiệm.

* Nếu $m<1$ hoặc $m>2$ thì $m^2-3m+2>0$
$(2)\Leftrightarrow x>\frac{2}{m^2-3m+2}$
Hệ (I) có nghiệm nếu $S=(-8;1)\bigcap (\frac{2}{m^2-3m+2};+\infty)\neq \varnothing $
Điều này xảy ra nếu $\frac{2}{m^2-3m+2}<1$
$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m<1\\ \frac{2}{m^2-3m+2}<1 \end{array} \right.\Leftrightarrow m<1 \\ \left\{ \begin{array}{l} m>2\\ \frac{2}{m^2-3m+2}<1 \end{array} \right.\Leftrightarrow m>3 \end{array} \right. $

Vậy hệ (I) có nghiệm nếu $m\notin [1;3]$

* Nếu $1<m<2$ thì $m^2-3m+2<0$
$(2)\Leftrightarrow x<\frac{2}{m^2-3m+2}$
Hệ (I) có nghiệm khi $S=(-8;1)\bigcap (-\infty;\frac{2}{m^2-3m+2})\neq \varnothing $
Điều này xảy ra khi $-8<\frac{2}{m^2-3m+2}$. Xét hệ sau:
$$\begin{cases}1<m<2 \\ -8<\frac{2}{m^2-3m+2} \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}1<m<2 \\ \frac{8m^2-24m+18}{m^2-3m+2} \end{cases}>0$$
Hệ này vô nghiệm.
Kết luận: Với $m<1$ hoặc $m>3$ hệ (I) có nghiệm.

Bài 107427

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107427

1 Đáp án

Liên quan

Giải hệ bất phương trình

Lý thuyết liên quan