Bài 107627

Question

Trong mặt phẳng tọa độ xét hai điểm

$A(a;0),B(0;b)$ với

$ab\neq 0$ .gọi

$(C)$ là đường tròn tiếp xúc với

$Ox$ tại

$A$ có tâm

$C$ với tung độ

$y_C=m$ trong đó

$m$ là tham số ;

$m\neq 0;m\neq a,b$

$a$ Đường thẳng

$AB$ cắt đường tròn

$(C)$ tại giao điểm thứ hai là

$P$ . Hãy xác định tọa độ điểm P

$b.$ Xác định tâm

$K$ của đường tròn

$(K)$ tiếp xúc với

$Oy$ tại

$B$ và đi qua

$P$

$c.$ Xác định đường tròn

$(C), (K)$ cắt nhau tạo

$P,Q$ chứng tỏ rằng khi

$m$ thay đổi đường thẳng

$PQ$ luôn đi qua một điểm cố định

score 0 · Answer 1

$a.$ Đường tròn

$(C)$ tiếp xúc với

$Ox$ tại

$A(a;0)$ và có tung độ

$y_C=m$ nên tâm

$C$ có tọa độ

$C(a;m)$ và bán kính

$CA=|m|$
Do đó phương trình đường tròn

$(C)$ là :

$(x-a)^2+(y-m)^2=m^2$
Phương trình đường thẳng

$AB$ là

$\frac{x}{a} +\frac{y}{b} =1$
Giao điểm của đường thẳng

$AB$ và đường tròn

$(C)$ là nghiệm của hệ :

$\begin{cases}\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 (1) \\ (x-a)^2+(y-m)^2=m^2 (2) \end{cases}$
Thế

$x$ từ

$(1) x=a(1-\frac{b}{y})$ vào

$(2)$ ta được :

$\frac{a^2y^2}{b^2}+(y-m)^2=m^2$

$\Leftrightarrow y[\frac{a^2+b^2y}{b}-2m ]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y=\frac{2mb^2}{a^2+b^2} (tọa độ y_P)\\y = 0 (tọa độ y_A)\end{array} \right.$
Suy ra tọa độ điểm

$P:(a(1-\frac{2mb}{a^2+b^2} );\frac{2mb^2}{a^2+b^2} )$

$b.$ Đường tròn

$(K)$ tiếp xúc với

$Oy$ tại

$B(0;b)$ nên tâm

$K$ của đường tròn này có tọa độ

$K(x_K;b)$
Vì

$(K)$ tiếp xúc với

$Oy\Rightarrow$ bán kính của

$(K):r=|x_K|\Rightarrow$ phương trình của

$(K): (x-x_K)^2+(y-b)^2=x_K^2\Leftrightarrow x^2-2x_K.x+(y-b)^2=0$
Vì

$P (a(1-\frac{2mb}{a^2+b^2} );\frac{2mb^2}{a^2+b^2} )\in (K) \Rightarrow$ tạo độ của

$P$ thỏa mãn :

$a^2(1-\frac{2mb}{a^2+b^2} )^2-2a(1-\frac{2mb}{a^2+b^2} )x_K+b^2(1-\frac{2mb}{a^2+b^2} )^2=0$

$\Leftrightarrow 2a(1-\frac{2mb}{a^2+b^2} )x_K=(a^2+b^2)(1-\frac{2mb}{a^2+b^2} ) ^2$

$\Rightarrow x_K=\frac{a^2+b^2-2mb}{2a}$
Vậy tọa độ của

$K$ là

$K(x_K=\frac{a^2+b^2-2mb}{2a};b)$

$c.$ Phương trình đường tròn

$(C)$

$(C) :(x-a)^2+(y-m)^2=m^2\Leftrightarrow x^2+y^2-2ax-2my+a^2=0 (4)$
Phương trình đường tròn

$K$ :

$(x-x_K)^2+(y-b)^2=x_K^2$

$\Leftrightarrow (x-\frac{a^2+b^2-2mb}{2a} )^2+(y-b)^2=(\frac{a^2+b^2-2mb}{2a})^2$

$\Leftrightarrow x^2+y^2-\frac{a^2+b^2-2mb}{2a}x-2by+b^2=0 (5)$
Lấy

$(4)-(5)$ ta được :

$(\frac{a^2+b^2-2mb}{2a} )x+2(b-m)y+a^2-b^2=0$

$\Leftrightarrow -2(\frac{bx}{a} +y)m+(\frac{a^2-b^2}{a} )x+2by+a^2-b^2=0 (6)$

$\Rightarrow (6)$ là phương trình đường thẳng

$PQ$

$(6)$ thỏa mãn với mọi

$m$ khi :

$\begin{cases}\frac{bx}{a}+y=0 \\ (\frac{b^2-a^2}{a}x+2by+a^2-b^2=0 ) \end{cases} (7)$
Nếu

$a^2-b^2=0$ thì hệ trên cho

$x=y=0$ nên

$PQ$ luôn đi qua điểm cố định là gốc tọa độ
- Nếu

$a^2-b^2\neq 0$ thì hệ

$(7)$ có thể viết thành :

$\begin{cases}bx+ay=0 \\ (a^2-b^2)x+2aby=a^2-b^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=\frac{a(a^2-b^2)}{a^2+b^2} \\ y=-\frac{b(a^2-b^2)}{a^2+b^2} \end{cases}$
Tọa độ của

$x;y$ này cũng đúng trong trường hợp

$a^2-b^2=0$ .Vậy đường thẳng

$PQ$ luôn đi qua điểm cố định :