Bài 107636

Question

Cho họ đường tròn

$(C_m)$ có phương trình :

$(C_m) :x^2-2mx+y^2-2(m+1)y-12=0$

$a.$ Tìm quỹ tích tâm của họ đường tròn trên.

$b.$ Tìm

$m$ sao cho bán kính đường tròn nhỏ nhất

$c.$ Khi

$m=2$ cho đường thẳng

$d$ có phương trình :

$3x-4y+12=0$ . Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa

$d$ và

$(C_2)$

score 0 · Answer 1

$a.$ Đường tròn

$(C_m)$ có phương trình :

$x^2-2mx+y^2-2(m+1)y-12=0$

$\Leftrightarrow a^2+b^2-c>0\Leftrightarrow m^2+(m+1)^2+12>0,\forall m$
Tọa độ tâm

$K$ của đường tròn là :

$\begin{cases}x_K=m (1) \\ y_K=-(m+1) (2)\end{cases}$
Thế

$(1)$ vào

$(2)$ suy ra :

$y_K=-x_K-1$
Vậy quỹ tích tâm

$K$ của đường tròn

$C_m$ là đường thẳng

$y:-x-1$

$b.$ Ta có :

$R^2=a^2+b^2-c=m^2(m+1)^2+12$

$=2m^2+2m+13=2(m+\frac{1}{2} )^2+\frac{25}{2} \geq \frac{25}{2}$
Dấu

$"="$ xảy ra khi

$m=-\frac{1}{2}$
Vậy khi

$m=-\frac{1}{2}$ thì bán kính đường tròn

$(C_m)$ có giá trị nhỏ nhất

$c.$ Khi

$m=2$ ta có phương trình đường tròn

$(C_2)$ là :

$(C_2): x^2+y^2-4x+6y-12=0$
hay

$(x-2)^2+(y+3)^2=25$
Đường tròn

$(C_2)$ có tâm

$K(2;-3)$ đến đường thẳng

$d: 3x-4y+12=0$ là

$d(K,d)=\frac{3.2-4(-3)+12}{\sqrt{9+16} } =6$
Gọi

$\Delta$ là tiếp tuyến của

$(C_2)$ song song với

$d\forall M\in (C_2)$

$d(M,d)=d(M,\Delta )+d(\Delta ,d)\geq d(\Delta ,d)=6-5=1$
Dấu

$"="$ xảy ra khi

$M$ về đến

$M_0$
Vậy khoảng cách ngắn nhất giữa

$d$ và

$(C_2)$ là

$1$

Bài 107636

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107636

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan