Bài 107699

Question

Trên mặt phẳng

$Oxy$ viết phương trình chính tắc của elip

$(E)$

$a.$ Có tâm là gốc tọa độ và đi qua hai điểm

$P(1;-3),Q(\frac{\sqrt{3} }{2};4 )$

$b.$ Có tiêu điểm

$F_1(-4;0)$ có độ dài trục lớn bằng

$12$ . Tìm những điểm nằm trên elip có bán kính qua tiêu điểm này bằng ba lần bán kính qua tiêu điểm kia

$c.$ Có hai tiêu điểm

$F_1(-2\sqrt{2};0 );F_2(2\sqrt{2};0 )$ và đi qua điểm

$A(1;\frac{2\sqrt{2} }{3} )$ . Tìm những điểm trên

$(E)$ nhìn hai tiêu điểm dưới góc vuông

score 0 · Answer 1

$a.$ Phương trình chính tắc của

$(E) :\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} =1 (a>b>0)$

$(E)$ đi qua hai điểm

$P(1;-3),Q(\frac{\sqrt{2} }{3};4 )$ ta có hệ phương trình :

$\begin{cases}\frac{1}{a^2}+\frac{9}{b^2}=1 \\ \frac{2}{9a^2}+\frac{16}{b^2}=-1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a^2=2 \\ b^2=18 \end{cases}$
Vô lý với

$a>b>0$ nên không tồn tại phương trình chính tắc

$b.$ Phương trình chính tắc của

$(E) : \frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} =1$

$(E)$ có tiêu điểm

$F_1(-4;0)\Rightarrow c=4$

$(E)$ có độ dài trục lớn là

$12\Rightarrow 2a=12\Rightarrow a=6$

$b^2=a^2-c^2\Rightarrow b^2=36-16=20$
Nên phương trình của elip

$\frac{x^2}{36} +\frac{y^2}{20} =1$

$(E)$ có hai tiêu điểm

$F_1(-4;0),F_2(4;0)$ nằm trên trục

$Ox$ , nửa trục lớn,nửa trục nhỏ, nửa tiêu cự lần lượt là

$a=6,b=2\sqrt{5},c=4$
Gọi

$M$ là điểm phải tìm ta có :

$F_1M=3F_2M$ hoặc

$F_2M=3F_1M$

$\Leftrightarrow (F_1M-3F_2M)(F_2M)-3F_1M=0$

$\Leftrightarrow 10F_1M.F_2M-3(F_1M^2+F_2M^2)=0$

$\Leftrightarrow 16F_1M.F_2M-3(F_1M+F_2M)^2=0$

$\Leftrightarrow 16(a+ex_M)(a-ex_M)=12a^2.(F_1M+F_2M=2a)$

$\Leftrightarrow 16(a^2-e^2x_M^2)=12\Leftrightarrow 4e^2x_M^2=a^2$

$\Leftrightarrow x_M^2=\frac{a^4}{4c^2}(e=\frac{c}{a} )$

$\Leftrightarrow x_M=\pm \frac{a^2}{2c} =\pm\frac{36}{8} =\pm \frac{9}{2}\Leftrightarrow y_M=\pm \frac{\sqrt{63} }{12}$
Vậy có bốn điểm thỏa mãn điều kiện đề bài :

$(\frac{9}{2};\pm\frac{\sqrt{63} }{12} ),(-\frac{9}{2} ;\pm \frac{\sqrt{63} }{12} )$

$c.$ Phương trình chính tắc của

$(E) : \frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} =1$
Ở đây

$c=2\sqrt{2}$

$(E)$ đi qua điểm

$A(1;\frac{2\sqrt{2} }{3} )$ nên

$\frac{1}{a^2} +\frac{8}{9b^2} =1$
Vậy ta có hệ phương trình :

$\begin{cases}a^2-b^2=8 \\ \frac{1}{a^2}+\frac{8}{9b^2}=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}a^2= 9\\ b^2=1 \end{cases}$
Do đo

$(E)$ phải tìm :

$(E): \frac{x^2}{9}+y^2=1$
Những điểm nhìn

$F_1F_2$ dưới một góc vuông nằm trên đường tròn đường kính

$F_1F_2$ chính là đường tròn tâm là gốc tọa độ bán kính

$R=2\sqrt{2}$ , nên có phương trình :

$x^2+y^2=8$
Những điểm này nằm trên

$(E)$ nên tọa độ của chúng là nghiệm của hệ phương trình :

$\begin{cases}\frac{x^2}{9}+y^2=1 \\ x^2+y^2=8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x=\pm\frac{3\sqrt{14} }{4} \\ y=\pm \frac{\sqrt{2} }{4} \end{cases}$
Vậy bốn điểm thỏa mãn điều kiện đề bài :

$\begin{cases}x=\frac{3\sqrt{14} }{4} \\ y=\pm \frac{\sqrt{2} }{4} \end{cases} \begin{cases}x=-\frac{3\sqrt{14} }{4} \\ y=\pm \frac{\sqrt{2} }{4} \end{cases}$

Bài 107699

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107699

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan