|
|
1. ĐỊNH NGHĨA ĐƯỜNG ELIP
Định nghĩa
Cho hai điểm cố định F1 và F2, với ${F_1}{F_2} = 2c\,\,\,(c > 0)$
Đường elip ( còn gọi là elip ) là tập hợp các điểm M sao cho $M{F_1} + M{F_2} = 2a$ , trong đó a là số cho trước lớn hơn c.
Hai điểm $F_1$ và $F_2$ gọi là các tiêu điểm của các elip. Khoảng cách $2c$ được gọi là tiêu cự của elip
2. Phương trình chính tắc elip
Cho elip (E) như trong định nghĩa. Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc là trung điểm đoạn thẳng ${F_1}{F_2}$. Trục Oy là trung trực của ${F_1}{F_2}$ và ${F_2}$ nằm trên tia Ox
Các đoạn thẳng $M{F_1},M{F_2}$ được gọi là bán kính qua tiêu của điểm M. Bây giờ ta lập phương trình của elip (E) đối với hệ trục tọa độ đã chọn như trên.
Ta có:
$M{F_1} = a + \frac{{cx}}{a} = \sqrt {{{(x + c)}^2} + {y^2}} \,\,$hay $\,{\left( {a + \frac{{cx}}{a}} \right)^2} = {(x + c)^2} + {y^2}$
Rút gọn đẳng thức trên ta được$\,\left( {1 - \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}}} \right){x^2} + {y^2} = {a^2} - {c^2}$, hay $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{a^2} - {c^2}}} = 1$ vì ${a^2} - {c^2} > 0$ nên ta có thể đặt ${a^2} - {c^2} = {b^2}$ (với b > 0) và được
$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\,\,\,(a > b > 0)$ (1)
Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip đã cho.
Ví dụ : Viết phương trình chính tắc của elip đi qua hai điểm M(0;1) và
$N\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$ . Xác định toạ độ các tiêu điểm của elip đó
Giải : Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\,\,\,(a > b > 0)$ Elip đi qua M ( 0;1) nên $\frac{1}{{{b^2}}} = 1\,$ hay ${b^2} = 1\,$ . Elip đó đi qua $N\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$ nên $\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{3}{{4{b^2}}} = 1$
Suy ra ${a^2} = 4\,$. Vậy elip cần tìm cho phương trình chính là
$\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1$
Ta có ${c^2} = {a^2} - {b^2} = 4 - 1 = 3$. Vậy toạ độ các tiêu điểm của elip đó là
${F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)$ và ${F_2}\left( {\sqrt 3 ;0} \right)$
3 . Hình dạng của elip
a, Tâm đối xứng của elip:
Elip có phương trình (1) nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc toạ dộ là tâm đối xứng
b, Hình chữ nhật cơ sở
Vẽ qua ${A_1}\& {A_2}$ hai đường thẳng song song với trục tung, vẽ qua ${B_1}\& {B_2}$ hai đường thẳng song song với trục hoành. Bốn đường thẳng đó tạo thành hình chữ nhật PQRS. Ta gọi hình chữ nhật đó là hình chữ nhật cơ sở của elip
Từ đó suy ra
Mọi điểm của elip nếu không phải là đỉnh đều nằm trong hình chữ nhật cơ sở của nó ,bốn đỉnh của elip là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật cơ sở
c) Tâm sai của elip
Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của elip goi là tâm sai của elip và được kí hiệu là e tức là $e = \frac{c}{a}$.
- Nếu tâm sai e càng bé (tức là càng gần 0) thì b càng gần a và hình chữ nhật cơ sở càng gần với hình vuông, do đó đường elip càng “béo”
- Nếu tâm sai e càng lớn (tức là càng gần1) thì tỉ số $\frac{b}{a}$càng gần tới 1 và hình chữ nhật cơ sở càng “dẹt”, do đó đường elip càng “gầy”
d) Elip và phép co đường tròn
Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường tròn (C) có phương trình${x^2} + {y^2} = a$và 1 số $k\,\,(0 < k < 1)$. Với mỗi điểm $M(x;y)$ trên (C) lấy điểm $M'(x';y')$ sao cho $x' = x,y' = ky$. Khi đó, tập hợp các điểm M’ là elip (E) có phương trình chính tắc:
$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$
Người ta nói: Phép co về trục hoành theo hệ số k biến đường tròn (C ) thành elip (E)
|