|
Viết lại phương trình của (H):x21−y24=1 a2=1⇒a=1;b2=4⇒b=2;c2=a2+b2=5 c=√5;e=ca=√5 (H) có các tiêu điểm : F1(−√5;0),F2(√5;0) a. gọi M(x;y) là điểm cần tìm.Ta có : →F1M=(x+√5;y),→F2M=(x−√5;y) F1M⊥F2M⇒→F1M.→F2M=0 ⇔(x+√5)(x−√5)+y2=0⇔x2+y2−5=0(1) M∈(H)⇔4x2−y2−4=0(2) Giải hệ (1),(2) ta được : x=±3√5;y=±4√5 Vậy có bốn điểm cần tìm là : (3√5;4√5),(3√5;−4√5),(−3√5;4√5),(−3√5;−4√5) b. gọi N(x;yO là điểm cần tìm N∈(H)⇒|NF1−NF2|=2a=2 Trong tam giác F1NF2 ta có : F1F22=F1N2+F2N2−2F1N.F2Ncos^F1NF2 =(F1N−F2N)2+2F1N.F2N−2F1N.F2.N.cos1200 =4+3F1N.F2N=4+3|a+cax|.|a−cax|=4+3|a2−c2a2x2| ⇒4c2=4+3|1−52|⇔4.5=4+3|1−5x2|⇔|1−5x2|=163 ⇒x2=1915⇒x=±√1915 Thay x=±√1915 vào phương trình của (H) ta tính được : y=±4√15 Vậy có bốn điểm cần tìm. c. Do (H) nhận Ox,Oy là các trục đối xứng, nên ta chỉ cần xét những điểm (x;y) của (H) mà : x;y nguyên x≥0;y≥0 rồi sau đó ta tìm những điểm đối xứng với những điểm này qua trục Ox,oy Ta có : 4x2−y2−4=0⇔(2x−y)(2x+y)=4(1) Do 2x−y,2x+y nguyên và 2x+y≥2x−y nên từ (1) là có các trường hợp : {2x−y=12x+y=4(2){2x−y=22x+y=2(3) Hệ (2) không có nghiệm nguyên, hệ (3) có một nghiệm nguyên là : {x=1y=0 Vậy những điểm trên (H) có tọa độ nguyên là (1;0)(−1;0)
|