Bài 108096

Question

Chứng minh rằng các trung điểm

$M, N, P, Q, R, S$ tương ứng của các cạnh

$AB, BB', B'C', C'D', D'D, DA$ của hình hộp

$ABCD.A'B'C'D'$ cùng nằm trên một mặt phẳng

phuongna · Answer 1 · 6/14/2012 11:09:53 AM

Ta sẽ sử dụng điều kiện để ba vectơ đồng phẳng.
Gọi

$O$ là tâm hình hộp đã cho, đặt

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}, \overrightarrow{OB'}=\overrightarrow{c}$ thì

$\overrightarrow{OC'}=-\overrightarrow{a}, \overrightarrow{OD'}=-\overrightarrow{b}, \overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{c}$ . Ta có:

$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}), \overrightarrow{ON}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}), \overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})$ ,
suy ra

$\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OP}$ , từ đó

$\overrightarrow{ON}, \overrightarrow{OM}, \overrightarrow{OP}$ đồng phẳng. Ta lại có

$\overrightarrow{OQ}=-\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=-\overrightarrow{OM}$

$\overrightarrow{OR}=\frac{1}{2}(-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})=-\overrightarrow{ON}$
và

$\overrightarrow{OS}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=-\overrightarrow{OP}.$
Như thế, sáu vectơ

$\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}, \overrightarrow{OP}, \overrightarrow{OQ}, \overrightarrow{OR}, \overrightarrow{OS}$ cùng nằm trong một mặt phẳng, tức các điểm

$M, N, P, Q, R, S$ cùng nằm trong một mặt phẳng.