Bài 108254

Question

Cho f(x) liên tục trên R và thỏa mãn:
$f(x)+f(-x)=\sqrt{2-2\cos2x} , \forall x \in R$
Tính tích phân $I=\int\limits_{-\frac{3\pi}{2} }^{\frac{3\pi}{2} }f(x)dx $

score 0 · Answer 1

Biến đổi I về dạng:
        $I=\int\limits_{-\frac{3\pi}{2} }^{0}f(x)dx+\int\limits_{0}^{\frac{3\pi}{2} }f(x)dx          (1)$
Xét tích phân $J=\int\limits_{-\frac{3\pi}{2} }^{0}f(x)dx$ bằng cách đặt $x=-t$ suy ra: $dx=-dt$
Đổi cận:
+) $x=-\frac{3\pi}{2} \rightarrow t=\frac{3\pi}{2} $
+) $x=0 \rightarrow t=0$
Khi đó:
       $J=\int\limits_{\frac{3\pi}{2} }^{0}f(-t)(-dt)=\int\limits_{0}^{\frac{3\pi}{2} }f(-t)dt=\int\limits_{0}^{\frac{3\pi}{2} }f(-x)dx        (2)$
Thay (2) vào (1) ta được:
       $I=\int\limits_{0}^{\frac{3\pi}{2} }f(-x)dx+\int\limits_{0}^{\frac{3\pi}{2} }f(x)dx=\int\limits_{0}^{\frac{3\pi}{2} }[f(-x)+f(x)]dx=\int\limits_{0}^{\frac{3\pi}{2} }\sqrt{2-2\cos 2x} dx$
        $=\int\limits_{0}^{\frac{3\pi}{2} }2|\sin x|dx=2(\int\limits_{0}^{\pi }\sin xdx-\int\limits_{\pi}^{\frac{3\pi}{2} }\sin xdx)=2(-\cos x \left| \begin{array}{l}
\pi \\
0
\end{array} \right.+\cos x \left| \begin{array}{l}
\frac{3\pi}{2} \\
0
\end{array} \right.)=6$

Bài 108254

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108254

1 Đáp án

Liên quan

Tích phân hàm cơ bản

Lý thuyết liên quan