Bài 108559

Question

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P) biết:

$(d): \frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{5} ; (P): 2x+y+z-8=0$
1. Chứng minh rằng (d) cắt (P) và không vuông góc với (P), từ đó xác định tọa độ giao điểm I của (d) và (P)
2. Lập phương trình đường thẳng

$(d_1)$ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P)

score 0 · Answer 1

1. Gọi

$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{n}$ theo thứ tự l afmootj vtcp của (d) và vtpt của (P), ta có:

$\overrightarrow{a}(2; 3; 5) , \overrightarrow{n}(2; 1; 1)$ suy ra:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{n} =4+3+5=12$

$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{n}$ không cùng phương
Xét hệ phương trình tạo bởi (d) và (P) ta được

$(d) \cap(P)=I(\frac{8}{3}; 0; \frac{8}{3}$
2. Lấy

$A(2; -1; 1)\in (d)$
Gọi

$(\Delta)$ là đường thẳng qua A và vuông góc với (P) ta được:

$(\Delta): \begin{cases}qua A(2; -1; 1) \\ vtcp \overrightarrow{n}(2; 1; 1) \end{cases} \leftrightarrow (\Delta): \begin{cases}x=2+2t \\ y=-1+t\\z=1+t \end{cases} , t\in R$
Vì hình chiếu vuông góc

$H_A$ của A lên (P) chính là giao điểm của

$(\Delta)$ và (P), do đó:

$2(2+2t)+t-1+t+1-8=0 \Leftrightarrow t=\frac{2}{3} \Rightarrow H_A(\frac{10}{3}; -\frac{1}{3}; \frac{5}{3})$
Phương trình hình chiếu vuông góc cần tìm được cho bởi:

$(d_1): \begin{cases}qua H_A(\frac{10}{3}; -\frac{1}{3}; \frac{5}{3}) \\ vtcp \overrightarrow{IH_A}(\frac{2}{3}; -\frac{1}{3}; -1) \end{cases} \Leftrightarrow (d_1): \frac{x-\frac{10}{3} }{-2}=\frac{1+\frac{1}{3} }{1}=\frac{x-\frac{5}{3} }{3}$

Bài 108559

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108559

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan