a) Với mọi $x \in R$ thì $\left( x+ \frac{ 2\pi}{w} \right) \in R$
Ta có $f(x+ \frac{ 2\pi}{w})=A \sin[w \left(x+ \frac{ 2\pi}{w} \right)+ \alpha ]=A\sin \left( wx+\alpha \right) =f(x)(*)$
Vậy $f(x)$ là hàm số tuần hoàn. Bây giờ ta sẽ chứng minh $\frac{ 2\pi}{w}$ là số dương nhỏ nhất thỏa mãn (*).
Thật vậy, giả sử $0<x<T$ mà $f(x+T)=f(x), \forall x\in R.$
Vậy ta có $A\sin \left( wx+\alpha \right) =A\sin [w \left( x+T \right) +\alpha] \forall x\in R$.
Khi $x=0 \Rightarrow A\sin \alpha=A\sin \left( wT+\alpha \right) \Rightarrow wT=k2\pi \Rightarrow T= \frac{ k2\pi}{w} (k\in Z).$
Điều này trái với giả thiết $0<T<\frac{ 2\pi}{w}.$
Do đó hàm số $y=f(x)=A\sin \left( wx+\alpha \right) $ là hàm số tuần hoàn có chu kỳ là $\frac{ 2\pi}{w} $ (với $A \neq 0, w \neq 0$).
b) Cũng chứng minh tương tự hàm số $y=g(x)=\tan \left( wx+\alpha \right) $ là hàm số tuần hoàn có chu kì là $\frac{ \pi}{w}$ (với $A \neq 0, w \neq 0$).