Bài 108867

Question

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1; 4; 5), B(0; 3; 1), C(2; -1; 0) và mặt phẳng (P) có phương trình:

$(P): 3x-3y-2z-15=0$
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để điểm M nằm trên mặt phẳng (P) có tổng các bình phương khoảng cách đến các điểm A, B, C nhỏ nhất là điểm M phải là hình chiếu vuông góc của điểm G trên mặt phẳng (P). Xác định tọa độ của điểm M đó

score 0 · Answer 1

Chứng minh M trùng với H là hình chiếu vuông góc của G lên mặt phẳng (P)
Với G là trọng tâm của tam giác ABC ta có:

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0$
và với mọi điểm

$M\in (P)$ luôn có:

$\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA} \Rightarrow MA^2=MG^2+GA^2+2 \overrightarrow{MG}\overrightarrow{GA}$

$\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB} \Rightarrow MB^2=MG^2+GB^2+2 \overrightarrow{MG}\overrightarrow{GB}$

$\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC} \Rightarrow MC^2=MG^2+GC^2+2 \overrightarrow{MG}\overrightarrow{GC}$
suy ra:

$MA^2+MB^2+MC^2=3MG^2+(GA^2+GB^2+GC^2)$
Vậy :

$MA^2+MB^2+MC^2$ nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất

$\Leftrightarrow$ M là hình chiếu vuông góc của G lên mặt phẳng (P)

$\Leftrightarrow M \equiv H$
+) Xác định tọa độ điểm M
Tọa độ điểm G(1; 2; 2)
Mặt phẳng (P) có vtpt

$\overrightarrow{a}(3; -3; -2)$
Gọi (d) là đường thẳng qua G và vuông góc với (P), ta có:

$(d): \begin{cases}qua G(1; 2;2 ) \\ vtcp \overrightarrow{n}(3; -3; -2) \end{cases} \Leftrightarrow (d): \begin{cases}x=1+3t \\ y=2-3t\\z=2-2t \end{cases} . t\in R$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (P), ta có:

$H=(d) \cap (P)$
Thay x, y, z từ phương trình tham số của (d) vào (P) ta được: