|
|
Gọi \(P(n)\) là mệnh đề cần chứng minh
- Khi \(n=1\). Ta có \(1\geq 1\) đúng.Vậy \(P(1)\) đúng.
- Giả sử \(P(k)\) đúng, tức là: \((k!)^{2}\geq k^{k}\) (*)
- Ta chứng minh \(P(k+1)\) đúng, tức là chứng minh:
\([(k+1)!]^{2}\geq (k+1)^{k+1} \Leftrightarrow (k!)^{2}(k+1)^{2}\geq (k+1)^{k+1}\)
\(\Leftrightarrow (k!)^{2}\geq (k+1)^{k-1}\) (**)
Nhờ (*), thay vì chứng minh (**), ta chỉ cần chứng minh \(k^{k}\geq 1^{k-1}\) là xong.
Gọi \(Q(n)\) là mệnh đề cần chứng minh
- Khi \(n=1\), ta có \(1^{1}\geq(1+1)^{1-1}\) đúng (vì \(1\geq2^{0}=1\)). Vậy \(Q(1)\) đúng.
- Giả sử \(Q(k)\) đúng, tức là :\(k^{k}\geq(k+1)^{k-1}\) (*)
- Ta chứng minh \(Q(k+1)\) đúng, tức là chứng minh:
\((k+1)^{k+1}\geq(k+2)^{k}\) đúng\(\Leftrightarrow (k+1)(k+1)^{k}\geq(k+2)^{k}\)
\(\Leftrightarrow (\frac{k+1}{k+2})^{k}\geq\frac{1}{k+1}\) (**)
Mà từ (*) \(\Rightarrow k^{k}\geq\frac{(k+1)^{k}}{k+1}\Rightarrow \frac{1}{k+1}\leq(\frac{k}{k+1})^{k}\)
Do đó, thay vì chứng minh (**), Ta chứng minh :\((\frac{k}{k+1})^{k}\leq(\frac{k+1}{k+2})^{k}\)
Tức là chứng minh:\(\frac{k}{k+1}\leq\frac{k+1}{k+2}\Leftrightarrow k^{2}+2k\leq k^{2}+2k+1\)
\(\Leftrightarrow 1\geq 0\) đúng.
Do đó \(Q(k+1)\) đúng.
Theo nguyên lí quy nạp, ta kết luận \(Q(n)\) đúng \(\forall n\in N^*\).
Vậy \(P(k+1)\) đúng.
Theo nguyên lí quy nạp, ta kết luận \(P(n)\) đúng \(\forall n\in N^*\).
|