Vì $A,B,M$ thẳng hàng.
$\Leftrightarrow \overrightarrow {AM}// \overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \frac{1-a}{-a}=\frac{2}{b} \Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1$ (1)
a.Ta có diện tích $\triangle OAB$ được cho bởi:
$S=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{ab}{2}$
Từ (1) suy ra:
$1=\frac{1}{a}+\frac{2}{b} \geq 2\sqrt{\frac{1}{a}.\frac{2}{b}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{ab}}$
$\Leftrightarrow ab\geq 8 \Leftrightarrow S\geq 4$
Vậy ta có: $S_{min}=4$, đạt được khi:
$\frac{1}{a}=\frac{2}{b}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \begin{cases} a=2 \\ b=2\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} A(2;0)\\ B(0;4)\end{cases} $
b.Từ (1) ta được:
$a=\frac{b}{b-2} \Rightarrow $ điều kiện $b>2$ (*)
Khi đó:
$OA+OB=\frac{b}{b-2}+b=\frac{2}{b-2}+b+1$
$=\frac{2}{b-2}+b-2+3\geq 2.\sqrt{\frac{2}{b-1}(b-1)}+3=2\sqrt{2}+3$
Vậy ta có: $(OA+B)_{min}=2\sqrt{2}+3$,đạt được khi:
$\frac{2}{b-2}=b-2 \Leftrightarrow (b-2)^{2}=2$
$\Leftrightarrow b=2+\sqrt{2} (do (*))$ $\Rightarrow a=1+\sqrt{2} \Rightarrow \begin{cases} A(1+\sqrt{2};0)\\ B(0;2+\sqrt{2})\end{cases} $
c.Ta có:
$\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OB^{2}} =\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}$
Nhận xét rằng:
$(1^{2}+2^{2})(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}})\geq (\frac{1}{a}+\frac{2}{b})^{2}=1 \Rightarrow \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}} \geq \frac{1}{5}$
Vậy ta được: $(\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OB^{2}})_{min}=\frac{1}{5}$,đạt được khi:
$\begin{cases} \frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1 \\a=2b \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=5 \\b= \frac{5}{2}\end{cases} $
$\Rightarrow \begin{cases} A(5;0) \\ B(0;\frac{5}{2})\end{cases}$