Bài 109006

Question

Chứng tỏ tập hợp

$A$ có phần tử cố định với mọi

$m$ . Tìm

$m$ để

$A$ có đúng hai phần tử. với:
a)

$A=\left\{ {x \in R|x^3-mx+1-m=0} \right\}$
b)

$A=\left\{ {x \in R|x^3-(m+1)x^2+(m^2-m-3)x-m^2+2m+3} \right\}$
Trong bài toán này hiểu đối tượng là tập hợp các số thực.
Hai phần tử khác nhau nếu và chỉ nếu các số biểu thị chúng khác nhau.

score 0 · Answer 1

a) Viết lại:

$x^3-mx+1-m=0 \Leftrightarrow x^3+1-m(x+1)=0 (1)$
* Tập hợp

$A$ có phần tử cố định với mọi

$m \Leftrightarrow$ Phương trình

$(1)$ có nghiệm không phụ thuộc

$m$ . Điều đó xảy ra khi và chỉ khi

$\begin{cases}x+1=0 \\ x^3+1=0 \end{cases} \Leftrightarrow x=-1$
Vậy khi

$m$ thay đổi tập hợp

$A$ luôn có một phần tử cố định là

$x=-1$
Từ kết quả trên suy ra

$(1) \Leftrightarrow (x+1)(x^2-x+1-m)=0$ . Gọi

$f(x)=x^2-x+1-m$
*

$A$ có đúng

$2$ phần tử khi và chỉ khi tập nghiệm của phương trình

$(1)$ có đúng

$2$ giá trị. Điều đó đạt được khi và chỉ khi

$f(x)=0$ có các nghiệm

$x_{1,2}$ thỏa mãn một trong hai trường hợp sau đây:
Trường hợp 1:

$-1=x_1 \neq x_2 \Leftrightarrow \begin{cases}f(-1)=0 \\ -\frac{c}{a} \neq -1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}3-m=0 \\ 1-m\neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow m=3 (2)$
Trường hợp 2:

$-1\neq x_1=x_2 \Leftrightarrow \begin{cases}\Delta_f=0 \\ -\frac{b}{2a} \neq -1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}4m-3=0 \\ \frac{1}{2}\neq -1 \end{cases} \Leftrightarrow m=\frac{3}{4}$
Từ

$(2),(3) \Leftrightarrow$ Tập hợp các giá trị phải tìm của

$m$ là

$m=3$ và

$m=\frac{3}{4}$
b) Xem phương trình

$x^3-(m+1)x^2+(m^2-m-3)x-m^2+2m+3=0 (4)$

$\Leftrightarrow (x-1)m^2-(x^2+x-2)m+x^3-x^2-3x+3=0$
Xét hệ

$\begin{cases}x-1=0 \\ x^2+x-2=0 \\ x^3-x^2-3x+3=0 \end{cases} \Leftrightarrow x=1$
Suy ra phương trình

$(4)$ có nghiệm

$x=1$ không phụ thuộc

$m \Leftrightarrow$ Tập hợp

$A$ có phần tử cố định

$(x=1)$ với mọi

$m$ (đpcm)
Từ kết quả đó suy ra:

$(4) \Leftrightarrow (x-1)(x^2-mx+m^2-2m-3)=0$
Gọi

$f(x)=x^2-mx+m^2-2m-3$
*

$A$ có đúng

$2$ phần tử khi và chỉ khi tập nghiệm của phương trình

$(4)$ có đúng

$2$ giá trị. Điều ấy đạt được khi và chỉ khi xảy ra một trong hai trường hợp sau:
Trường hợp 1:

$\begin{cases}f(1)=0 \\ \frac{c}{a} \neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}m^2-3m-2=0 \\ m^2-2m-4 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m=\frac{3\pm \sqrt{17}}{2} (5)$
Trường hợp 2:

$\begin{cases}\Delta_f=0 \\ -\frac{b}{2a} \neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}-3m^2+8m+12=0 \\ m \neq 2 \end{cases} \Leftrightarrow m=\frac{2\pm \sqrt{13}}{3} (6)$
Từ

$(5),(6)$ suy ra tập hợp tất cả các giá trị của

$m$ là: