Bài 109596

Question

Cho hai đường tròn

$(C_1)$ và

$(C_2)$ có phương trình:

$(C_1):x^2+y^2-8=0$ và

$(C_2):x^2+y^2-4x=0$
1. Chứng minh rằng hai đường tròn

$(C_1), (C_2)$ cắt nhau. Lập phương trình đường thẳng đi qua các giao điểm đó.
2. Viết phương trình đường tròn qua giao điểm của

$(C_1)$ và

$(C_2)$ và:
a. Đi qua điểm

$M(6;2)$
b. Tiếp xúc với đường thẳng

$(d):x-2y+4=0$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/26/2012 3:00:36 PM

$1$ . Ta có:
- Đường tròn

$(C_1)$ có tâm

$I_1(0;0)$ và bán kính

$R_1=2\sqrt{2}$
- Đường tròn

$(C_2)$ có tâm

$I_2(2;0)$ và bán kính

$R_2=\sqrt{2}$
Ta có:

$I_1I_2=2$ và:

$|R_1-R_2|=2\sqrt{2}-2<I_1I_2<2\sqrt{2}+2=R_1+R_2\Leftrightarrow (C_1)\cap(C_2)=$ {A,B}
Bằng cách trừ phương trình của

$(C_1)$ cho

$(C_2)$ ta được:

$-8+4x=0\Leftrightarrow x-2=0$
Đó chính là đường thẳng đi qua hai giao điểm

$A, B$

$2$ . Đường tròn

$(S)$ đi qua các giao điểm của

$(C_1)$ và

$(C_2)$ có dạng:

$\begin{array}{l} (S):\lambda ({x^2} + {y^2} - 4x) + \mu ({x^2} + {y^2} - 8) = 0\\ \Leftrightarrow (S):(\lambda + \mu ){x^2} + (\lambda + \mu ){y^2} - 4\lambda x - 8\mu = 0\,\,\,(1) \end{array}$
có tâm

$I(\frac{{2\lambda }}{{\lambda + \mu }};0)$ và bán kính

${R^2} = \frac{{4{\lambda ^2}}}{{{{(\lambda + \mu )}^2}}} + \frac{{8\mu }}{{\lambda + \mu }}$

a. Điểm

$M(6;2)\in (S)$ , ta được:

$(\lambda + \mu ){.6^2} + (\lambda + \mu ){.2^2} - 4\lambda .6 - 8\mu = 0 \Leftrightarrow \lambda = - 2\mu$
Thay

$\lambda = - 2\mu$ vào (1) ta được:

$(S): - 2\mu ({x^2} + {y^2} - 4x) + \mu ({x^2} + {y^2} - 8) = 0 \Leftrightarrow (S):{x^2} + {y^2} - 8x + 8 = 0$

b.

$(S)$ tiếp xúc đường thẳng

$(d)$ ta được:

$\begin{array}{l} d(I,(d)) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {\frac{{2\lambda }}{{\lambda + \mu }} + 4} \right|}}{{\sqrt {1 + 4} }} = \sqrt {\frac{{4{\lambda ^2}}}{{{{(\lambda + \mu )}^2}}} + \frac{{8\lambda }}{{\lambda + \mu }}} \\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{2\lambda }}{{\lambda + \mu }} + 4} \right)^2} = 5\left[ {\frac{{4{\lambda ^2}}}{{{{(\lambda + \mu )}^2}}} + \frac{{8\lambda }}{{\lambda + \mu }}} \right] \Leftrightarrow 2{\lambda ^2} + \lambda \mu - 3{\mu ^2} = 0 (*)\end{array}$
Đặt

$t = \frac{\lambda }{\mu }$

$(*) \Leftrightarrow 2{t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = - \frac{3}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \lambda = \mu \\ \lambda = - \frac{{3\lambda }}{2} \end{array} \right.$
- Với

$\lambda = \mu$ ta được: