Bài 110026

Question

Cho phương trình: $x^2-3x+1=m\sqrt{x^4+x^2+1} (1)$
a) Giải phương trình khi $m=-\frac{\sqrt{3}}{3}$
b) Tìm tập hợp các giá trị của $m$ để phương trình $(1)$ có lẻ số nghiệm thực.

score 0 · Answer 1

Để ý: $x^4+x^2+1=(x^2+1)^2-x^2=(x^2+x+1)(x^2-x+1)>0, \forall x \in R$
Viết lại $(1) \Leftrightarrow 2(x^2-x+1)-(x^2+x+1)=m\sqrt{(x^2-x+1)(x^2+x+1)}       (1')$
Đặt $\sqrt{x^2-x+1}=t.\sqrt{x^2+x+1}                                               (2)$
Phương trình $(1)$ trở thành $2(x^2+x+1)t^2-(x^2+x+1)=m(x^2+x+1)t$
$(x^2+x+1)(2t^2-mt-1)=0 \Leftrightarrow 2t^2-mt-1=0                (3)$
Điều kiện 1: $t>0$
Điều kiện 2:
Ta có $(2) \Leftrightarrow x^2-x+1=(x^2+x+1)^2t^2 \Leftrightarrow (t^2-1)x^2+(t^2+1)x+t^2-1=0    (4)$
Thấy rằng: $t=1$, phương trình $(4)$ cho nghiệm $x=0$
Với $0<t \neq 1: (4)$ là phương trình bậc hai có $\Delta=(t^2+1)^2-4(t^2-1)^2=(3-t^2)(3t^2-1)$
Tập giá trị của $t$ là $\Delta \geq 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{1}{3} \leq t^2 \leq 3}\\
{t \neq 1}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{1}{\sqrt{3}} \leq |t| \leq \sqrt{3}}\\
{t \neq 1}
\end{array}} \right.$
Từ các điều kiện 1 và điều kiện 2 suy ra: $\frac{1}{\sqrt{3}} \leq t \leq \sqrt{3}      (5)$
a) Khi $m=-\frac{\sqrt{3}}{3}$, phương trình $(3)$ trở thành $2t^2+\frac{\sqrt{3}}{3}t-1=0$
$\Leftrightarrow \left\{ {t=\frac{1}{\sqrt{3}}; t=-\frac{\sqrt{3}}{2}} \right\}$. Kết hợp với $(5)$ có $t=\frac{1}{\sqrt{3}}( \Leftrightarrow \Delta=0)$
Thay vào phương trình $(4)$ có nghiệm kép $x=\frac{t^2+1}{2(1-t^2)} \Leftrightarrow x=\frac{\frac{1}{3}+1}{2(1-\frac{1}{3})}$
$\Leftrightarrow x=1$
b) Thấy rằng, với mỗi $t$ thảo mãn điều kiện $(5)$, phương trình $(4)$ có không quá hai n ghiệm thực. Bởi vậy phương trình $(1)$ có lẻ số thực $\Leftrightarrow (4)$ có duy nhất một nghiệm $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t=1}\\
{\Delta_x=0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t=1}\\
{t=\frac{1}{\sqrt{3}}}\\
{t=\sqrt{3}}
\end{array}} \right.$ Thay lần lượt các giá trị của $t$ vào $(3)$, theo thứ tự có các giá trị phải tìm của $m$ là $m \in \left\{ {1;\frac{-1}{\sqrt{3}};\frac{5}{\sqrt{3}}} \right\}$

Bài 110026

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110026

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan