|
|
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức với $n\in $N* và $x_1, x_2, ..., x_n \in [0; 1]$ thì:
$(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_n)\geq 1-x_1-x_2-...-x_n$
Khi $n=1$ thì bất đẳng thức đúng (có dấu bằng)
Giả sử bất đẳng thức đúng khi $n=k$, tức là:
$(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_k)\geq 1-x_1-x_2-...-x_k$
Ta chứng minh bất đẳng thức đúng khi $n=k+1 (k\in $N*), tức là:
$(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_{k+1})\geq 1-x_1-x_2-...-x_{k+1}$
Thật vậy:
$(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_{k+1})\geq (1-x_1-x_2-...-x_k)(1-x_{k+1})$
$=1-x_1-x_2-...-x_k-x_{k+1}+(x_1+x_2+...+x_k)x_{k+1}$
$\geq 1-x_1-x_2-...-x_{k+1}$
Với $x_1, x_2, ..., x_n \geq 0$ và $x_1+x_2+...+x_n\leq \frac{1}{2} $ thì $x_1, x_2, ..., x_n \in [0; 1]$
Áp dụng bất đẳng thức trên ta được:
$(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_n)\geq 1-x_1-x_2-...-x_n$
$=1-(x_1+x_2+...+x_n)\geq 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} $
|