|
|
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức với n∈N* và x1,x2,...,xn∈[0;1] thì:
(1−x1)(1−x2)...(1−xn)≥1−x1−x2−...−xn
Khi n=1 thì bất đẳng thức đúng (có dấu bằng)
Giả sử bất đẳng thức đúng khi n=k, tức là:
(1−x1)(1−x2)...(1−xk)≥1−x1−x2−...−xk
Ta chứng minh bất đẳng thức đúng khi n=k+1(k∈N*), tức là:
(1−x1)(1−x2)...(1−xk+1)≥1−x1−x2−...−xk+1
Thật vậy:
(1−x1)(1−x2)...(1−xk+1)≥(1−x1−x2−...−xk)(1−xk+1)
=1−x1−x2−...−xk−xk+1+(x1+x2+...+xk)xk+1
≥1−x1−x2−...−xk+1
Với x1,x2,...,xn≥0 và x1+x2+...+xn≤12 thì x1,x2,...,xn∈[0;1]
Áp dụng bất đẳng thức trên ta được:
(1−x1)(1−x2)...(1−xn)≥1−x1−x2−...−xn
=1−(x1+x2+...+xn)≥1−12=12
|