|
|
Tập xác định $R$
Đặt $f(x)=|\sqrt{x^2+2x+5}-\sqrt{x^2-4x+40}|=|\sqrt{(x+1)^2+4}-\sqrt{(2-x)^2+36}|$
Xét các vecto $\overrightarrow{u}=(x+1;-2), \overrightarrow{v}=(2-x;6)$
Sẽ có: $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(3;4), |\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|=5, |\overrightarrow{u}|=\sqrt{(x+1)^2+4}, |\overrightarrow{v}|=\sqrt{(2-x)^2+3}$
Ta có: $f(x)=||\overrightarrow{u}|-|\overrightarrow{v}|| \leq |\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|=5 (2)$
Dấu đẳng thức có khi xảy ra một trong ba trường hợp $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ hoặc $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ hoặc $\overrightarrow{u}$ ngược hướng $\overrightarrow{v}$
Khả năng $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}, \overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ không thể xảy ra do $y_{\overrightarrow{u}}=-2 \neq 0, y_{\overrightarrow{v}}=6 \neq 0 (3)$
Khả năng $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ ngược hướng $\Leftrightarrow \frac{x+1}{2-x}=\frac{-2}{6}<0 \Leftrightarrow x=-\frac{5}{2} (4)$
Từ $(1),(2),(3),(4) \Rightarrow x^2+5x+\frac{45}{4} \leq 5 \Leftrightarrow x^2+5x+\frac{25}{4}\leq 0 \Leftrightarrow (x+\frac{5}{2})^2 \leq 0$
$x=-\frac{5}{2} (5)$
Từ $(3),(5)$ kết luận phương trình có một nghiệm duy nhất $x=-\frac{5}{2}$
|