Bài 110159

Question

a) Chứng minh:

$\cos^2 y - \sin 5> 2\cos y \cos 7 -\cos^2 7$ .
b) Cho phương trình:

$(a+1)\sin x + a\cos x=\frac{a-1}{\cos x} (1)$
1. Giải phương trình khi

$a=\frac{1}{2}$
2. Giả sử

$a$ là giá trị làm cho phương trình

$(1)$ có hai nghiệm

$x_1, x_2$ trong đó

$x_1+x_2 \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ . Tính

$A=1+\sin 2(x_1+x_2)$ theo

$a$ .

score 0 · Answer 1

a)

$(\cos y)^2 -2\cos y. \cos 7 +\cos^2 7 > \sin 5$

$(\cos y - \cos 7)^2 > \sin 5 (*)$
Vì

$\pi < 5< 2\pi$ nên

$\sin 5 < 0$ . Vậy

$(*)$ luôn luôn đúng (đpcm)
b) Với ĐK

$cos x \neq 0$ , ta chia hai vế của

$(1)$ cho

$\cos x$ và được:

$(a+1) \tan x+a=\frac{a-1}{\cos^2 x}=(a-1)(1+\tan^2 x)$
hay

$(1-a)tan^2 x+ (a+1)\tan x+1=0$
Đặt

$\tan x=t$ , ta được phương trình bậc hai theo

$t$ :

$(1-a) t^2+(a+1)t+1=0 (2)$

$1$ . Khi

$a=\frac{1}{2}$ :

$(2)$ có dạng

$t^2+3t+2=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t=-1\\t=-2\end{array} \right.$
ĐS:

$\left[ \begin{array}{l} x=-\frac{\pi}{4} +k\pi \\x=\alpha+ k\pi , \tan \alpha= -2 \end{array} \right.$

$2$ .

$(1)$ có nghiệm

$x \Leftrightarrow (2)$ có hai nghiệm

$t$ :

$\Delta=(a+1)^2 -4(1-a)=a^2+6a+3 \geq 0$

$\Rightarrow a \leq -3-2\sqrt[]{3}; a \geq -3 + 2\sqrt[]{3}$

$\sin 2(x_1+x_2)=\frac{2\tan(x_1+x_2)}{1+\tan^2(x_1+x_2)}$
Mặt khác

$\tan (x_1+x_2)=\frac{\tan x_1+\tan x_2}{1-\tan x_1. \tan x_2}=\frac{\frac{a+1}{a-1} }{1-\frac{1}{1-a} }=\frac{a+1}{a}$
Suy ra

$\sin 2(x_1+x_2 =\frac{2a(a+1)}{2a^2+2a+1} )$
Vậy

$A=1+\sin 2(x_1+x_2)=1+\frac{2a^2+2a}{2a^2+2a+1}=\frac{4a^2+4a+1}{2a^2+2a+1}$

1 Đáp án