Bài 110159

Question

a) Chứng minh: $\cos^2 y - \sin 5> 2\cos y \cos 7 -\cos^2 7$.
b) Cho phương trình: $(a+1)\sin x + a\cos x=\frac{a-1}{\cos x} (1)$
1. Giải phương trình khi $a=\frac{1}{2} $
2. Giả sử $a$ là giá trị làm cho phương trình $(1)$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ trong đó $x_1+x_2 \neq \frac{\pi}{2} + k\pi $. Tính $A=1+\sin 2(x_1+x_2)$ theo $a$.

score 0 · Answer 1

a)   $(\cos y)^2 -2\cos y. \cos 7 +\cos^2 7 > \sin 5 $
       $(\cos y - \cos 7)^2 > \sin 5                               (*)$
Vì $\pi < 5< 2\pi $ nên $\sin 5 < 0$.   Vậy $(*)$ luôn luôn đúng (đpcm)
b) Với ĐK $cos x \neq 0$ , ta chia hai vế của $(1)$ cho $\cos x$ và được:
       $(a+1) \tan x+a=\frac{a-1}{\cos^2 x}=(a-1)(1+\tan^2 x) $
hay $(1-a)tan^2 x+ (a+1)\tan x+1=0 $
Đặt $\tan x=t$, ta được phương trình bậc hai theo $t$:
       $(1-a) t^2+(a+1)t+1=0                                                       (2)$
$1$. Khi $a=\frac{1}{2}$:   $(2)$ có dạng $ t^2+3t+2=0 \Leftrightarrow   \left[ \begin{array}{l}t=-1\\t=-2\end{array} \right. $
ĐS: $\left[ \begin{array}{l} x=-\frac{\pi}{4} +k\pi \\x=\alpha+ k\pi , \tan \alpha= -2 \end{array} \right.
$
$2$. $(1)$ có nghiệm $x \Leftrightarrow (2)$ có hai nghiệm $t$:
         $\Delta=(a+1)^2 -4(1-a)=a^2+6a+3 \geq 0$
$\Rightarrow   a \leq -3-2\sqrt[]{3}; a \geq -3 + 2\sqrt[]{3} $
         $\sin 2(x_1+x_2)=\frac{2\tan(x_1+x_2)}{1+\tan^2(x_1+x_2)} $
Mặt khác $\tan (x_1+x_2)=\frac{\tan x_1+\tan x_2}{1-\tan x_1. \tan x_2}=\frac{\frac{a+1}{a-1} }{1-\frac{1}{1-a} }=\frac{a+1}{a}   $
Suy ra $\sin 2(x_1+x_2 =\frac{2a(a+1)}{2a^2+2a+1} )$
Vậy   $A=1+\sin 2(x_1+x_2)=1+\frac{2a^2+2a}{2a^2+2a+1}=\frac{4a^2+4a+1}{2a^2+2a+1} $

Bài 110159

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110159

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan