Bài 110435

Question

Trong không gian với hệ trục tọa độ

$Oxyz$ cho hình chóp

$S.ABCD$ có đáy

$ABCD$ là hình thoi,

$AC$ cắt

$BD$ tại gốc tọa độ

$O$ . Biết

$A(2;0;0), B(0;1;0); S(0;0;2\sqrt{2})$ . Gọi

$M$ là trung điểm của cạnh

$SC$ . Tính thể tích hình chóp

$S.ABMN$ , ở đây

$N$ là giao điểm của

$SD$ với mặt phẳng

$(ABM)$ .

score 0 · Answer 1

Do

$ABCD$ là hình thoi tâm

$O$ nên ta có:
Do

$AB//CD\Rightarrow AB //(SDC) ; (MAB) \cap (SDC)=MN$

Ở đây

$MN//AB$ . Vì

$M$ là trung điểm của

$SC$ , nên

$N$ là trung điểm của

$SD$ .
Ta có:

$C=(-2;0;0); D=(0;-1;0)$
Từ đó:

$M=(-1;0;\sqrt{2}); N=(0;-\frac{1}{2};\sqrt{2})$
Ta có:

$\overrightarrow{SA}=(2;0;-2\sqrt{2}); \overrightarrow{SN}=(0;-\frac{1}{2};-\sqrt{2});\overrightarrow{SM}=(-1;0;-\sqrt{2});\overrightarrow{SB}=(0;1;-2\sqrt{2})$

$V_{S.ABMN}=V_{S.ABN}+V_{S.NBM}=\frac{1}{6}|[\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SN}].\overrightarrow{SA}|+\frac{1}{6}|[\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SN}].\overrightarrow{SM}| (1)$
Ta có:

$[\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SN}]=(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{1}}&{{-2\sqrt{2}}}\\ {{-\frac{1}{2}}}&{{-\sqrt{2}}} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{-2\sqrt{2}}}&{{0}}\\ {{-\sqrt{2}}}&{{0}} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{0}}&{{1}}\\ {{0}}&{{-\frac{1}{2}}} \end{array}} \right|)=(-2\sqrt{2};0;0)$

$\Rightarrow [\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SN}].\overrightarrow{SA}=-4\sqrt{2}; [\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SN}].\overrightarrow{SM}=2\sqrt{2} (2)$
Thay

$(2)$ vào

$(1)$ ta có: