Bài 110734

Question

Cho đường tròn

$(O;R)$ và một điểm

$A$ cố định thuộc đường tròn; một dây

$BD$ thay đổi có độ dài

$2a$ (

$a$ là một độ dài cho trước ).Dựng hình bình hành

$ABCD$ .Gọi

$K,H$ theo thứ tự là các trực tâm của các tam giác

$BCD$ và

$ABD$

$a.$ Chứng minh

$K$ là điểm cố định

$b.$ Tìm tập hợp điểm

$H$

$c.$ Tìm tập hợp đỉnh

$C$

score 0 · Answer 1

$a.$ Tứ giác

$CFKE$ cho ta

$\widehat{C} +\widehat{K_1}=180^0$
mà

$\widehat{C}=\widehat{A};\widehat{K_1}=\widehat{K_2}$

$\Rightarrow \widehat{A}+\widehat{K_2}=180^0\Rightarrow$ tứ giác

$ABDK$ nội tiếp được, suy ra điểm

$K$ nằm trên đường tròn

$(O,R)$
ta lại có

$\widehat{KDA}=90^0\Rightarrow K$ là điểm xuyên tâm đối của

$A\Rightarrow K$ là điểm cố định

$b.$ Gọi

$I$ là trung điểm của đoạn thẳng

$BD$ ta có

$OI^2=OB^2-BI^2=R^2-a^2\Rightarrow OI=\sqrt{R^2-a^2}$
Ta lại có

$\overrightarrow {AH}=2\overrightarrow {OI}$

$\Rightarrow AH=2\overrightarrow {OI}\Rightarrow AH=2\sqrt{R^2-a^2}$
Suy ra tập hợp của điểm

$H$ là đường tròn tâm

$A$ , bán kính

$2\sqrt{R^2-a^2}$

$a.$

$O$ là trung điểm của

$AK$ và

$I$ là trung điểm của

$AC$ nên

$OI$ là đường trung bình, cho ta

$CK=2OI$ kết hợp với câu

$b.$
ta có :

$AH=CK (1)$
Dễ thấy

$AH//CK (2)$
Từ

$(1),(2)$ suy ra

$AHCK$ là hình bình hành cho ta

$\overrightarrow {HC}=\overrightarrow {AK}$
Đẳng thức này chứng tỏ

$C$ là ảnh của

$H$ trong phép tịnh tiến theo véctơ

$\overrightarrow {AK}$ : Tập hợp các điểm

$C$ là ảnh của tập hợp các điểm

$H$ trong phép tịnh tiến theo véctơ

$\overrightarrow {AK}$
Vậy tập hợp các điểm

$C$ là đường tròn ảnh của đường tròn

$(A;2\sqrt{R^2-a^2} )$ trong phép tịnh tiến theo véctơ

$\overrightarrow {AK}$ .Đó là đường tròn

$(K;2\sqrt{R^2-a^2} )$

Bài 110734

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110734

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan