|
|
Do a,b,c là 3 cạnh của một tam giác nên $(3)$ $ \Leftrightarrow$ z= $\frac{a - cy}{b}$ , thay vào $(2)$ có bx - ay =$\frac{b^2-a^2}{c}$
Bởi vậy ta có $(I)$ $\Leftrightarrow$ $(II)$ $\left\{ \begin{array}{l} bx + ay = c\\ bx - ay = \frac{b^2-a^2}{c}\\ z=\frac{a-cy}{b} \end{array} \right.$
Xem hệ hai phương trình $(1)$ và $(2')$ có D =$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
b&a\\
b&{ - a}
\end{array}} \right|$ =-2ab< $0$.Do đó hệ $(II)$ có nghiệm duy nhất. $(4)$
Mặt khác,trong mọi tam giác luôn có $\left\{ \begin{array}{l} sinAcosB + cosAsinB=sinC\\ sinAcosC + cosAsinC=sinB\\sinBcosC + cosBsinC=sin A \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow $ $(5)$ $\left\{ \begin{array}{l} 2R(sinAcosB + cosAsinB)=2RsinC\\ 2R(sinAcosC+cosAsinC)=2RsinB\\2R(sinBcosC+cosBsinC)=2RsinA \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow$ $(6)$ $\left\{ \begin{array}{l} a cosB+b cosA=c\\ c cosA+a cosC=b\\b cosC+c cosB=a \end{array} \right. $
Kết quả $(6)$ thu được nhờ trong $(5)$ thay $a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC$
Các kết quả $(5)$ và $(6)$ cho thấy x=cosA ,y=cosB, z=cosC là một nghiệm của hệ (I).Theo $(4)$ đó cũng là nghiệm duy nhất của hệ ấy.
Theo định lý hàm số cosin thì cặp nghiệm duy nhất của hệ được viết
$x=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} ; y=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} ; z=\frac{b^2+a^2-c^2}{2ab}$
|