Bài 111141

Question

Rút gọn biểu thức:

$A=\frac{4\cos \frac{\pi}{5}+\cot \frac{\pi}{24}}{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5}+\sqrt{6} }$

score 0 · Answer 1

Dễ dàng thấy với

$0 \leq \alpha <\frac{\pi}{4}$ ta có:

$\cot \alpha= \cot 2\alpha +\sqrt{1+\cot^2 2\alpha} (1)$
Thay

$\alpha=\frac{\pi}{112}$ vào

$(1)$ , ta được:

$\cot \frac{\pi}{12}=\cot \frac{\pi}{6}+\sqrt{1+\cot^2 \frac{pi}{6} }=\sqrt[]{3}+\sqrt[]{4}$
Thay

$\alpha=\frac{\pi}{24}$ vào

$(1)$ , ta được:

$\cot \frac{\pi}{24} =\cot \frac{\pi}{12}+\sqrt[]{1+\cot^2 \frac{\pi}{12} } =\sqrt[]{3}+\sqrt[]{4}+\sqrt[]{1+7+2\sqrt[]{12} }$

$=\sqrt[]{3}+\sqrt[]{4}+\sqrt[]{(\sqrt[]{2}+\sqrt[]{6})^2}=\sqrt[]{2}+\sqrt[]{3}+\sqrt[]{4}+\sqrt[]{6}$
Mặt khác, dễ dàng chứng minh được:

$\sin \frac{\pi}{10}=\sin 18^0=\frac{\sqrt[]{5}-1 }{4}, \cos 36^0=\frac{\sqrt[]{5}+1 }{4}$
Vậy

$4\cos \frac{\pi}{5}+\cot \frac{\pi}{24}=1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5}+\sqrt{6}$
ĐS:

$A=1$

1 Đáp án