Bài 111239

Question

Cho tứ diện đều

$ABCD$ cạnh

$a$ và một điểm

$M$ thuộc cạnh

$BC$ , đặt

$BM=x (0\leq x\leq a)$

$a.$ Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng đi qua

$M$ và song song với các cạnh

$AB,AD$ .Tính chu vi và diện tích thiết diện theo

$a,x$

$b.$ Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng

$(P)$ đi qua

$M$ và song song với các cạnh

$AB,CD$ .chứng minh rằng chu vi của thiết diện không phụ thuộc vào vị trí của điểm

$M$ trên cạnh

$BC$

score 0 · Answer 1

$a.$ Mặt phẳng

$(P)$ song song với

$AB,AD$ nên

$(P)//(ABD)$ và

$(P)$ cắt

$(ABC)$ theo giao tuyến song song với

$AB$ , cắt

$(ACD)$ theo giao tuyến song song với

$AD$
Từ

$M$ kẻ đường thẳng song song với

$AB$ cắt

$AC$ tại

$N$ .Qua

$N$ kẻ đường thẳng song song với

$AD$ , cắt

$CD$ tại

$Q$
Tam giác

$MNQ$ là tam giác cần dựng.Dễ tháy tam giác

$MNQ$ là tam giác đều và có cạnh

$MN=a-x\Rightarrow$ chu vi là

$3(a-x)$
Vậy

$S_{MNQ}=\frac{(a-x)^2\sqrt{3} }{4}$

$b.$ Mặt phẳng

$(P)$ đi qua

$M$ và song song với

$AB$ nên cắt các mặt phẳng

$(ABC)$ và

$(ABD)$ chứa cạnh

$Ab$ theo các giao tuyến song song với

$AB$
Mặt phẳng

$(P)$ đi qua

$M$ và song song với

$CD$ nên cắt các mặt phẳng

$(ADC)$ và

$(BCD)$ - chứa cạnh

$CD$ - theo các giao tuyến song song với

$CD$
Do đó ta có cách dựng :
- Qua

$M$ kẻ đường thẳng song song với

$AB$ , cắt cạnh

$AC$ tại

$N$
- Qua

$M$ kẻ đường thẳng song song với

$CD$ cắt cạnh

$BD$ tại

$Q$
- Qua

$N$ kẻ đường thẳng song song với

$CD$ cắt cạnh

$AD$ tại

$P$ .
Dễ thấy bốn điểm

$M,N,P,Q$ cùng thuộc một mặt phẳng và mặt phẳng này song song với

$AB,CD$ nên tứ giác

$MNPQ$ là thiết diện cần tìm
Do

$MN//PQ$ và

$NP//MQ$ nên trong trường hợp

$b$ , thiết diện là hình bình hành với

$MN=a-x$

$NP=x$

$\Rightarrow$ chu vi của

$MNPQ=2a$

Bài 111239

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111239

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan