Bài 111239

Question

Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$ và một điểm $M$ thuộc cạnh $BC$, đặt $BM=x (0\leq x\leq a)$
$a.$ Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng đi qua $M$ và song song với các cạnh $AB,AD$.Tính chu vi và diện tích thiết diện theo $a,x$
$b.$ Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ và song song với các cạnh $AB,CD$.chứng minh rằng chu vi của thiết diện không phụ thuộc vào vị trí của điểm $M$ trên cạnh $BC$

score 0 · Answer 1

$a.$ Mặt phẳng $(P)$ song song với $AB,AD$ nên $(P)//(ABD)$ và $(P)$ cắt $(ABC)$ theo giao tuyến song song với $AB$, cắt $(ACD)$ theo giao tuyến song song với $AD$
Từ $M$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $AC$ tại $N$.Qua $N$ kẻ đường thẳng song song với $AD$, cắt $CD$ tại $Q$
Tam giác $MNQ$ là tam giác cần dựng.Dễ tháy tam giác $MNQ$ là tam giác đều và có cạnh $MN=a-x\Rightarrow $ chu vi là $3(a-x)$
Vậy $S_{MNQ}=\frac{(a-x)^2\sqrt{3} }{4} $

$b.$ Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ và song song với $AB$ nên cắt các mặt phẳng $(ABC)$ và $(ABD)$ chứa cạnh $Ab$ theo các giao tuyến song song với $AB$
Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ và song song với $CD$ nên cắt các mặt phẳng $(ADC)$ và $(BCD)$- chứa cạnh $CD$- theo các giao tuyến song song với $CD$
Do đó ta có cách dựng :
- Qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $AB$, cắt cạnh $AC$ tại $N$
- Qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $CD$ cắt cạnh $BD$ tại $Q$
- Qua $N$ kẻ đường thẳng song song với $CD$ cắt cạnh $AD$ tại $P$.
Dễ thấy bốn điểm $M,N,P,Q$ cùng thuộc một mặt phẳng và mặt phẳng này song song với $AB,CD$ nên tứ giác $MNPQ$ là thiết diện cần tìm
Do $MN//PQ$ và $NP//MQ$ nên trong trường hợp $b$, thiết diện là hình bình hành với
$MN=a-x$
$NP=x$
$\Rightarrow $ chu vi của $MNPQ=2a$

Bài 111239

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111239

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan