|
|
a) Gọi $T_0>0$ là chu kì của hàm số, lúc đó ta có:
$2\sin [4(x+T_0)+\frac{\pi}{3} ]=2\sin (4x+\frac{\pi}{3} ) \forall x$
$\Leftrightarrow 2\sin[(4x+\frac{\pi}{3}+4T_0 )]=2\sin(4x+\frac{\pi}{3} ) $
Khi $4x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}$, ta có $2\sin(\frac{\pi}{2} +4T_0) =2\sin \frac{\pi}{2}=2 $
Mặt khác, $2\sin(\frac{\pi}{2}+4T_0 )=2\cos 4T_0 \Rightarrow \cos 4T_0= 1 \Rightarrow 4T_0=k2\pi \Rightarrow T_0=\frac{k\pi}{2} $.
Theo định nghĩa, $T_0$ là số dương nhỏ nhất nên $T_0=\frac{\pi}{2} $ ứng với $k=1$
Vậy hàm số có chu kì $\frac{\pi}{2} $
b) Gọi $T$ là chu kì ta có :
$f(x+T)=2\sin3(x+T)+\sin 2(x+T)=2\sin 3x+\sin 2x$
Như vậy, $\sin 2(x+T)-\sin 2x+2\sin 3(x+T)-2\sin 3x=0 $
Cho $x=0$, rồi cho $x=\pi$ ta được: $\sin 2T+2\sin3T=0$
$\sin 2T-2\sin3T=0$
Suy ra $\sin 2T=0$ và $\sin 3T=0$
$\sin 2T=0 \Leftrightarrow T=\frac{k\pi}{2}, \sin 3T=0 \Leftrightarrow T=\frac{l\pi}{3} $
$\frac{k\pi}{2}=\frac{l\pi}{3} \Leftrightarrow 3k=2l $
Các số nguyên dương thỏa mãn $3k=2l$ là $k=2, l=3$, tức là $T=\pi$.
Nhưng dễ dàng thử lại để thấy $T=\pi $ không phải là chu kì. Từ đó để đảm bảo $T$ là chu kì, ta phải có $k=4, l=6$ tức $T=2\pi$
Thử lại với $T=2\pi: f(x+2\pi)=f(x)$
Vậy hàm số có chu kì $T=2\pi$
|