|
|
Từ giả thiết bài toán suy ra x,y không đồng thời bằng 0. Gọi Q(x,y)=x2+y2
Trường hợp 1:x=0 hoặc y=0 dễ dàng suy ra Q=143(1)
Trường hợp 2:xy≠0, đặt y=x.t,t∈R ta có
Q14=x2(1+t2)x2(3+4t+3t2)⇔Q14=1+t23+4t+3t2(2)
Để ý: 3t2+4t+3>0,∀t∈R nên (2)⇔Q(3t2+4t+3)=14(1+t2)
⇔(3Q−14)t2+4Qt+3Q−14=0(3)
Trường hợp 1a)3Q−14=0⇔Q=143, khi đó (3)⇔4Qt=0⇔t=0
⇒y=0, trái với giả thiết x,y≠0
Trường hợp 1b)3Q−14≠0, Gọi Δ′=4Q2−(3Q−14)2=(5Q−14)(14−Q)
Rõ ràng tập giá trị của Q là tập nghiệm của Δ′≥0⇔[145≤Q≤143143≤Q≤14(4)
Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi t=2Q3Q−14(5)
Do vậy thay vào (5) sẽ có:
+ Q=145 đạt được khi và chỉ khi t=−1⇔x=−y≠0(6.1)
+ Q=14 đạt được khi và chỉ khi t=1⇔x=y≠0(6.2)
Từ (1),(4),(6.1),(6.2) kết luận: 145≤Q≤14
|