Bài 111791

Question

a) Cho

$A,B,C$ là các góc của một tam giác. Chứng minh rằng;

$\frac{\sin \frac{A}{2} }{\cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} }+\frac{\sin \frac{C}{2} }{\cos \frac{C}{2}\cos \frac{A}{2} }+ \frac{\sin \frac{C}{2} }{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} }=4\sin^2 \frac{\pi}{4}$

b) Tam giác

$ABC$ có các góc thỏa mãn:

$\sin 5A+\sin 5B+\sin 5C=0$
Hãy chứng minh tam giác

$ABC$ không phải tam giác nhọn.

c) Chứng minh rằng trong tam giác

$ABC$ , nếu các góc thỏa mãn:

$\sin A+ \sin B+ \sin C=2(\sin \frac{A}{2}+\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2})$
thì góc

$A=120^0$ .

score 0 · Answer 1

a) Ta có:

$\frac{\sin \frac{A}{2} }{\cos \frac{B}{2}. \cos \frac{C}{2}} + \frac{\sin \frac{B}{2} }{\cos \frac{C}{2} \cos \frac{A}{2}}= \frac{\frac{1}{2} \sin A + \frac{1}{2}\sin B }{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}}$

$=\frac{\sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} }{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}} =\frac{\cos \frac{A-B}{2} }{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2}}= \frac{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} + \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2}}{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2}}$

$=1+ \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} (1)$
Tương tự:

$\frac{\sin \frac{C}{2} }{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2}}=\frac{\cos \frac{A+B}{2} }{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2}}=1-\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} (2)$
Cộng (1) với (2), ta được:

$\frac{\sin \frac{A}{2} }{\cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}} + \frac{\sin \frac{B}{2} }{\cos \frac{C}{2} \cos \frac{A}{2}}+ \frac{\sin \frac{C}{2} }{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2}} =2= 4(\frac{(\sqrt[]{2} )}{1} )^2. \sin^2 \frac{\pi}{4}$ (đpcm)

b)