Bài 111791

Question

a) Cho $A,B,C$ là các góc của một tam giác. Chứng minh rằng;
     $\frac{\sin \frac{A}{2} }{\cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} }+\frac{\sin \frac{C}{2} }{\cos \frac{C}{2}\cos \frac{A}{2} }+ \frac{\sin \frac{C}{2} }{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} }=4\sin^2 \frac{\pi}{4}   $

b) Tam giác $ABC$ có các góc thỏa mãn: $\sin 5A+\sin 5B+\sin 5C=0$
     Hãy chứng minh tam giác $ABC$ không phải tam giác nhọn.

c) Chứng minh rằng trong tam giác $ABC$, nếu các góc thỏa mãn:
     $\sin A+ \sin B+ \sin C=2(\sin \frac{A}{2}+\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2})$
     thì góc $A=120^0$.

score 0 · Answer 1

a) Ta có:
      $\frac{\sin \frac{A}{2} }{\cos \frac{B}{2}. \cos \frac{C}{2}} + \frac{\sin \frac{B}{2} }{\cos \frac{C}{2} \cos \frac{A}{2}}= \frac{\frac{1}{2} \sin A + \frac{1}{2}\sin B }{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}}$
$=\frac{\sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} }{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}} =\frac{\cos \frac{A-B}{2} }{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2}}= \frac{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} + \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2}}{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2}}$
$=1+ \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}    (1) $
Tương tự: $\frac{\sin \frac{C}{2} }{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2}}=\frac{\cos \frac{A+B}{2} }{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2}}=1-\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}          (2)$
Cộng (1) với (2), ta được:
       $\frac{\sin \frac{A}{2} }{\cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}} + \frac{\sin \frac{B}{2} }{\cos \frac{C}{2} \cos \frac{A}{2}}+ \frac{\sin \frac{C}{2} }{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2}} =2= 4(\frac{(\sqrt[]{2} )}{1} )^2. \sin^2 \frac{\pi}{4} $       (đpcm)

b)   $\sin 5A + \sin 5B + \sin 5C = 0$
$\Leftrightarrow 2\sin \frac{5A+5B}{2} \cos \frac{5A-5B}{2} + 2\sin \frac{5C}{2} \cos \frac{5C}{2}=0            (1) $
Do $\frac{5A+5B}{2} =360^0+90^0-\frac{5C}{2} $
$    \Rightarrow \sin \frac{5A+5B}{2} =\sin (90^0 - \frac{5C}{2} )=\cos \frac{5C}{2} $
$(1) \Leftrightarrow \cos \frac{5C}{2} \cos \frac{5A-5B}{2} +\cos \frac{5C}{2} \cos \frac{5A+5B}{2} = 0   $
   $ \Leftrightarrow \cos \frac{5C}{2} \cos \frac{5A}{2} \cos \frac{5B}{2}                                                         (2) $
Từ $(2)$ suy ra $\cos \frac{5A}{2} = 0 \Leftrightarrow   \frac{5A}{2} = 90^0 $ hoặc   $\frac{5A}{2}=270^0 $.
Ta được: $A=36^0$ hoặc $A=108^0$.
Tương tự, $B=36^0$ hoặc $108^0, C=36^0$ hoặc $108^0$.
Vậy $\Delta ABC $ là tam giác tù.

c) Từ hệ thức suy ra:
       $4\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}=2 (\cos \frac{C+B}{2} +\sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2})$
hay $4\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} = 2\cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}     $
$\Leftrightarrow \cos \frac{A}{2} =\frac{1}{2} \Leftrightarrow   A=120^0 $

Bài 111791

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111791

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan