a) m≠±√2
b) y2=4x
c) Trong mặt phẳng Oxy, xét Parabol:
(P):y2=4x, có tiêu điểm F(1;0).
* Phương trình đường thẳng (d) đi qua F tạo với chiều dương của trục Ox một góc α có dạng:
(d): \begin{cases} qua F(1;0) \\ hệ số góc k= \tan \alpha \end{cases} \Leftrightarrow (d):y=(x-1)\tan \alpha
* Tọa độ giao điểm M,N của (P) và (d) là nghiệm của hệ phương trình:
\begin{cases} y^{2}=4x \\ y=(x-1)\tan \alpha \end{cases} \Rightarrow x^{2}\tan^{2} \alpha-2(\tan^{2} \alpha+2)x+\tan^{2} \alpha=0 (1)
Ta có: \Delta'=(\tan^{2} \alpha+2)^{2}-\tan^{4} \alpha+4 >0, \forall \alpha do đó (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt M(x_M;y_M), N(x_N;y_N) có hoành độ thỏa mãn:
x_M+x_N=\frac{2(\tan^{2} \alpha+2)}{\tan^{2} \alpha}
* Gọi E(x_E;y_E) là trung điểm của đoạn MN, ta có:
\begin{cases} x_E=\frac{1}{2}(x_M+x_N) \\ y_E=(x_E-1)\tan \alpha \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_E= \frac{\tan^{2} \alpha+2}{\tan^{2} \alpha} \\ y_E=\frac{2}{\tan \alpha}\end{cases} (I)
Khử \alpha từ hệ (I) ta được: y^{2}_E=4x_E-2
Vậy, quỹ tích trung điểm E của đoạn MN thuộc Parabol (P_1) có phương trình y^{2}=4x-2 trong mặt phẳng Oxy.