Bài 111891

Question

Cho $f$ liên tục trên $[0;1]$. Chứng minh rằng:

a) $ \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} } f(\sin x)dx = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} } f(\cos x) dx$
b) $ \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} } xf(\sin x)dx = \frac{\pi}{2} \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }f(\sin x)dx = \pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} } f (\sin x)dx$
c) Từ đó tính các tích phân sau:
$I = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }\frac{\cos ^2xdx}{\sin x + \cos x};$ $J = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }\frac{\sin ^3 xdx}{\sin x + \cos x}$

score 0 · Answer 1

a) Đặt $t = \frac{\pi}{2} - x \Rightarrow dt = -dx$

Đổi cận :

$\Rightarrow \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }f(\sin x)dx = \int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{0}$$ (\cos x )(-dt) = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} f (\cos x)dx$

b)    Đặt $t = \pi - x     \Rightarrow     dx = - dt$
* $\int\limits_{0}^{\pi}f(\sin x)dx = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }f(sin x)dx + \int\limits_{\frac{\pi}{2} }^{\pi}f(\sin x)dx = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }f(\sin x)dx + \int\limits_{\frac{\pi}{2} }^{0} f (\sin t)(-dt)$
$= \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }f(\sin x)dx + \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }f(\sin x)dx= 2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }f(\sin x)dx$                                 (1)
* $\int\limits_{0}^{\pi}xf(\sin x )dx = - \int\limits_{\pi}^{0} (\pi - t)f(\sin t )dt = \pi \int\limits_{0}^{\pi} f (\sin t)dt) - \int\limits_{0}^{\pi} tf(\sin t)dt$
$\Rightarrow 2 \int\limits_{0}^{\pi} xf(\sin x)dx = \pi \int\limits_{0}^{\pi}f(\sin x)dx$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{\pi} xf(\sin x)dx = \frac{\pi}{2} \int\limits_{0}^{\pi} f(\sin x)dx$                                       (2)
Từ (1) và (2)   $\Rightarrow $ b) được chứng minh.

c) Theo a) ta có :
$I = J =\frac{1}{2} \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} } \left ( 1 -\frac{1}{2} \sin 2x \right )dx = \frac{1}{2} \left ( x + \frac{1}{4} \cos 2x\left| \begin{array}{l}
\frac{\pi}{2} \\
0
\end{array} \right. \right ) = \frac{1}{2} \left ( \frac{\pi}{2} -\frac{1}{2}   \right )= \frac{1}{4} (\pi -1).$

Bài 111891

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111891

1 Đáp án

Liên quan

Tích phân hàm cơ bản

Lý thuyết liên quan