Bài 112029

Question

Cho $M; a,b,c$ là các số thực dương cho trước và $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x^2+y^2+z^2 \geq M$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$Q=\frac{x^3}{ax+by+cz}+\frac{y^3}{ay+bz+cx}+\frac{z^3}{az+bx+cy}$
Áp dụng với tìm giá trị nhỏ nhất của $Q$ với $M=1, a=2, b=3, c=4 $.

score 0 · Answer 1

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

Viết lại $Q=\frac{x^4}{x(ax+by+cz)}+\frac{y^4}{y(ay+bz+cx)}+\frac{z^4}{z(az+bx+cy)}$
Theo Svacxo suy ra $Q \geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x(ax+by+cz)+yay+bz+cx)+z(az+bx+cy)}$
                  $\Leftrightarrow Q \geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{a(x^2+y^2+z^2)+(b+c)(xy+yz+zx)}     (1)$
Theo Bu-nhi-a-cop-xki: $(xy+yz+zx) \leq x^2+y^2+z^2$ nên từ $(1)$ suy ra:
   $Q \geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{a(x^2+y^2+z^2)+(b+c)(x^2+y^2+z^2)}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a+b+c}\geq \frac{M}{a+b+c}$
Vậy $\min Q=\frac{M}{a+b+c}$
Với $M=1,a=2,b=3,c=4$ ta có $\min Q=\frac{1}{9}$

Bài 112029

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112029

1 Đáp án

Liên quan

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Lý thuyết liên quan