Bài 112076

Question

Cho $f,g$ liên tục trên $[a;b]$. Chứng minh rằng :
a) Nếu $f,g$ đều là các hàm tăng thì
$\frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^{b} f(x)g(x)dx \geq \frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^{b} f(x)dx.\frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^{b}g(x)dx.$
b) Nều $f$ là hàm tăng và $g$ là hàm giảm thì
$\frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^{b} f(x)g(x)dx \leq \frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^{b} f(x)dx.\frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^{b}g(x)dx.$

score 0 · Answer 1

a) $ \forall x \in [a;b], $ ta có : $ f(a) \leq f(x) \leq f(b) \Rightarrow \int\limits_{a}^{b} f(a)dx \leq \int\limits_{a}^{b} f(x)dx \leq f(b)dx$
$ \Rightarrow (b-a)f(a) \leq \int\limits_{a}^{b} f(x)dx \leq (b-a)f(b)$
$ \Rightarrow f(a) \leq \frac{1}{b-a} \int\limits_{a}^{b} f(x)dx \leq f(b)$
$ \Rightarrow $ Theo định lí về giá trị trung bình của tích phân xác định, tồn tại :
$ x_0 \in [a;b] $ sao cho : $ f(x_0) = \frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$

Hơn nữa : $f,g$ đều là hàm tăng trên $[a;b]$ nên ta suy ra rằng :

$[f(x) - f(x_0)][g(x) - g(x_0)] \geq 0 , \forall x \in [a;b]$

$ \Leftrightarrow f(x)g(x) - f(x_0)g(x) - f(x)g(x_0) + f(x_0)g(x_0) \geq 0 , \forall x \in [a;b]$
$\Rightarrow \int\limits_{a}^{b} f(x)g(x)dx \geq f(x_0) \int\limits_{a}^{b} g(x)dx + g(x_0) \int\limits_{a}^{b} f(x)dx - (b-a) f(x_0)g(x_0)$
$\Rightarrow (b-a)\int\limits_{a}^{b} f(x)g(x)dx \geq \int\limits_{a}^{b} f(x)dx.\int\limits_{a}^{b} g(x)dx + $
$+ (b-a)g(x_0) \int\limits_{a}^{b} f(x)dx - (b-a)g(x_0) \int\limits_{a}^{b} f(x)dx$
$ \Rightarrow (b-a) \int\limits_{a}^{b} f(x)g(x)dx \leq \frac{1}{b-a} \int\limits_{a}^{b} f(x)dx.\frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^{b} g(x)dx.$

b) Giả thiết, suy ra rằng $f,-g$ là các hàm tăng trên $[a;b]$ nên theo câu a)

$\frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^{b} f(x)[-g(x)]dx \geq \frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^{b} f(x)dx. \frac{1}{b-a} \int\limits_{a}^{b} [-g(x)]dx$
$\Rightarrow \frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^{b} f(x)g(x)dx \leq \frac{1}{b-a} \int\limits_{a}^{b} f(x)dx.\frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^{b} g(x)dx.$

Bài 112076

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112076

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan