Bài 112164

Question

Cho $n \in N $ Hãy tính các biểu thức sau :
a) $I_n = \int\limits_{0}^{1}x(1-x)^ndx$
b) $S = \frac{1}{2}C^0_n-\frac{1}{3}C^1_n+\frac{1}{4}C^2_n-...+ \frac{(-1)^n}{n+2}C^n_n$
c) Từ đó suy ra : $\frac{1}{2} C^0_{19} - \frac{1}{3}C^1_{19} + \frac{1}{4}C^2_{19} - ... - \frac{1}{21}C^{19}_{19} = \frac{1}{420}.$

score 0 · Answer 1

a) Ta có : $I_n = \int\limits_{0}^{1}x(1-x)^ndx = \int\limits_{0}^{1}(x-1+1)(1-x)^ndx$
$= \int\limits_{0}^{1} [(1-x)^n - (1-x)^{n+1}]dx = \left ( -\frac{(1-x)^{n+1}}{n+1}+\frac{(1-x)^{n+2}}{n+2} \right )\left| \begin{array}{l}
1\\
0
\end{array} \right.$
$\Rightarrow I_n = \frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}= \frac{1}{(n+1)(n+2)}.$

b) Ta có : $(1-x)^n = \sum\limits_{k = 0}^n {{C_n}^k} (-1)^kx^k, \forall x \in R$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}x(1-x)^ndx = \int\limits_{0}^{1} \sum\limits_{k = 0}^n {{C_n}^k}(-1)^kx^{k+1}dx$
$\frac{1}{(n+1)(n+2)} = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{C^k_n(-1)^k}{k+2} }$
$\Rightarrow S = \frac{C^0_n}{2}-\frac{C^1_n}{3}+\frac{C^2_n}{4}-...+\frac{(-1)^n}{n+2}C^n_n = \frac{1}{(n+1)(n+2)}.$

c) Lấy $ n = 19 $ thì : $ \frac{C^0_{19}}{2} - \frac{C^1_{19}}{3} + \frac{C^2_{19}}{4}- ... - \frac{1}{21}C^{19}_{19} = \frac{1}{20.21} = \frac{1}{420}.$

bài này không dùng tích phân thì giải ntn câu b ấy

Bài 112164

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112164

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan