Bài 112250

Question

a) Cho $p,q >1 $ và $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $
Chứng minh rằng : $ \alpha \beta \leq \frac{\alpha ^p}{p} + \frac{\beta^q}{q}, \forall \alpha, \beta \geq 0 $
b) Cho $f,g$ liên tục trên $[a;b]$. Chứng minh rằng :
$\int\limits_{a}^{b} |f(x).g(x)|dx \leq \left ( \int\limits_{a}^{b} |f(x)|^pdx \right )^{\frac{1}{p}} . \left ( \int\limits_{a}^{b} |g(x)|^qdx \right )^{\frac{1}{q}}$

score 0 · Answer 1

a) * Nếu $ \alpha.\beta = 0 $ thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
    * Nếu $ \alpha.\beta > 0 $: Xét $y=x^{p-1}, x>=0 $ thì hàm ngược của nó là :
              $ x = y ^ {\frac{1}{p-1}} = y ^{q-1} ( vì \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 )$
    * $x = \alpha $ cắt $ y = x^{p-1}$ tại $M$.
    * $y = \beta $ cắt $ y = x^{p-1}$ tại $N$.

Theo đồ thị , ta có : $ S_1 + S_2 \geq S_{OABC}$
$\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\alpha}x^{p-1}dx + \int\limits_{0}^{\beta} y^{q-1}dy \geq \alpha.\beta \Leftrightarrow \frac{\alpha^p}{p}+\frac{\beta^q}{q} \geq \alpha.\beta$
Dấu $"=" \Leftrightarrow M \equiv N \Leftrightarrow a^(p-1) = \beta \Leftrightarrow \alpha ^{q(p-1)} = b^q \Leftrightarrow \alpha ^p = \beta^q.$
b) * Nếu $\left[ \begin{array}{l}
\int\limits_a^b {|f(x){|^p}dx = 0} \\
\int\limits_a^b {|g(x){|^q}dx = 0}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f = 0\\
g = 0
\end{array} \right.$
$\Rightarrow$ Bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
* Nếu : $ \int\limits_{a}^{b} |f(x)|^pdx, \int\limits_{a}^{b} |g(x)|^qdx >0$
Đặt $ \begin{cases}A(x) = \frac{|f(x)|}{\left ( \int\limits_{a}^{b}|f(x)|^pdx \right )^{\frac{1}{p}} }\geq 0 \\ B(x) = \frac{|g(x)|}{\left ( \int\limits_{a}^{b}|g(x)|^qdx \right )^{\frac{1}{q} } } \end{cases}$
Theo kết quả câu a) ta có : $ A(x)B(x) \leq \frac{[A(x)]^p}{p} + \frac{[B(x)]^q}{q}$
$\Rightarrow \int\limits_{a}^{b} A(x)B(x)dx \leq \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$
$\Rightarrow |f(x)g(x)|dx \leq \left ( \int\limits_{a}^{b} |f(x)|^pdx \right )^{\frac{1}{p}} \left ( \int\limits_{a}^{b}|g(x)|^qdx \right )^{\frac{1}{q}}$

Bài 112250

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112250

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan